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Mathematik

mit einer wechselnden Auswahl von Unterrichtsmaterialen zur Mathematik sowie Verweisen ("Links") auf fremde Internetseiten.

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Internet-Darstellung, Probleme & Download

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Während Ihnen der Druck meiner Seiten problemlos gelingen sollte (weil ich extra keine Frames oder dynamische Inhalte verwende), müssen Sie beim Speichern auf Ihre Festplatte aufpassen, dass Ihr Browser auch die Bilder speichert. Als Bilder gelten auch Formeln! Wählen Sie dazu nach Strg+S bzw. ["Seite" >] "Speichern unter.." als Dateityp "Webseite, komplett (*.htm, *.html)" oder "Webseite, vollständig (*htm, *html)".

Da es umgekehrt mühsam ist, alle Formeln, Sonderzeichen, Abbildungen u.ä. einzeln in Bilder zu konvertieren und damit die Arbeitblätter ins Netz zu stellen -- zumal HTML nicht alle Formatierungen kennt, das Ergebnis also trotzdem oft unbefriedigend bleibt --, habe ich entweder (z.B. bei den Lösungen meiner Klassenarbeiten) direkt seitengroße Bilder integriert oder habe viele Beiträge im pdf-Format bereitgestellt. Inzwischen ist mit fast allen Internet-Browser die pdf-Anzeige möglich. Wenn die Anzeige nicht überzeugt, kann nach Installation eines zusätzlichen pdf-Readers der Browser meist so eingestellt werden, dass er das fremde (bessere) Anzeigeprogramm verwendet!

Kostenlose pdf-Reader sind z.B. der bekannte Adobe-Reader, aber auch die meist kompakteren und z.T. besseren FoxIt- , Safari-, Nuance-Pdf- oder der Perfect-Pdf-Reader bzw. der Pdf-XChange-Viewer, um nur einige zu nennen).


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Veranstaltungen, Mathe-Wettbewerbe und -Adventskalender, Corona-Mathematik



14.3.2024 Fünfter Internationaler Tag der Mathematik

Hervorgegangen aus dem früheren Pi-Tag (pi day; das Datum 14. März bzw. 14.3. zeigt in amerikanischer Schreibweise 3/14 die ersten drei Ziffern der Kreiszahl Pi = 3.14...), wird auf Beschluss der Unesco seit 2020 immer am 14. März der Internationale Tag der Mathematik gefeiert; 2020 also zum ersten Mal unter dem neuen Titel. Zwar erwähnt kleiner-kalender.de selbst in der Ankündigung für 2024 nur die Kreiszahl, aber die offizielle Seite idm314.org (englisch) oder - in Deutsch: - kuriose-feiertage.de, lehrer-news.de und natürlich Wikipedia liefern viele Informationen zum Festtag, seiner Entstehung und den Zielen. In den verschiedenen Jahren stehen immer wieder andere Themen im Vordergrund:

Mathe-Lehrerinnen und -lehrer sind aufgerufen, an diesem Tag die Bedeutung des Fachs durch ein Event oder eine geeignete Aktion in ihrer Schule ins Bewusstsein möglichst vieler Schülerinnen und Schüler (am besten auch der Nicht-Fachkolleg[inn]en) zu heben.

An und um diesen Tag herum bieten Mathematische Institute vieler Hochschulen Sonderveranstaltungen (wobei das Angebot in den ersten zwei Jahren allerdings noch größer war). Bitte rechtzeitig im Internet nach lokalen Angeboten suchen und ggf. frühzeitig anmelden!


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Mathematik-Wettbewerbe 2024

Soweit die Anmeldefristen für die 2024er-Wettbewerbe beim verspäteten Lesen dieser Seite schon abgelaufen sind, bleibt nur das Warten auf das nächste Jahr!



Neben den Adventskalendern (s.u.) gibt es viele weitere jährlich durchgeführte Mathematik-Wettbewerbe. Hier einige wichtige Möglichkeiten mit aktuellen Terminen:


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Mathematik-Adventskalender

Vom 1. bis 24. Dezember 2023 durfte man wieder jeden Tag ein virtuelles Türchen öffnen und fand dahinter statt Schokolade ein Rätsel oder eine spannende Aufgabe. Nach einmaliger Anmeldung konnte man die eigenen Lösungen sogar täglich per eMail einsenden und damit auf einen der vielen Gewinne hoffen, die auf die Teilnehmerinnen und Teilnehmer warteten. Aber auch ohne Registrierung konnte man bei den meisten Angeboten Türchen öffnen und die Fragen sehen und beantworten. Denn auch ohne Gewinnchance macht das Rätseln Spaß. Wer trotzdem auch materielle Preise gewinnen will, sollte sich im November 2024 für den kommenden Advent anmelden. Und um die Gewinnchancen zu erhöhen, sollte jetzt an den alten Aufgaben geübt werden!

Das Deutsche Forschungszentrum MatheOn stellt zusammen mit der Deutschen Mathematiker-Vereinigung drei Versionen von mathematischen Adventskalendern mit unterschiedlich schweren Aufgaben ins Netz:

Selbst die schwierigste Version, der digitale MatheOn-Adventskalender "Math+" ab Klasse 10, erfordert aber meist mehr gesunden Menschenverstand und Nachdenken über praktische Zusammenhänge als unbedingt komplizierte Rechentechniken, sodass auch Grundkurs-Schülerinnen und -Schüler gute Chancen haben. Im Advent ließen sich die aktuellen Türchen immer erst ab 16 Uhr öffnen, damit Schülerinnen und Schüler mit spätem Schulschluss nicht zusätzlich benachteiligt wurden. Wer will, kann jederzeit auch einen Blick auf die interessanten Aufgaben früherer Jahre werfen: denn bei MATH+ kann man z.B. unter "Kalender" > "Aufgabenarchiv" Aufgaben und Lösungen früherer Jahre in absteigender Anordnung jeweils in einer pdf-Datei zusammen gepackt finden ("Aufgaben und Lösungen 2022" bis "Aufgaben und Lösungen 2004"). Der Kalender vom Dezember 2023 ist im Moment (Februar 2024) noch funktionsfähig (Türen öffnen ohne Anmeldung). Also hin zu den Angeboten für die unterschiedlichen Altersstufen! Die findet man auf der gemeinsamen Startseite:

www.mathekalender.de

Bei den beiden niedrigeren Anforderungsstufen kann man z.Z. nicht nur die Aufgaben vom Dezember 2023, sondern auch deren Lösungen abrufen. Und: Diese Kalender für die Klassen 4 bis 6 bzw. für die Klassen 7 bis 9 sind zusätzlich auch über die Webseite MiA = Mathe-im-Advent.de zu erreichen; aufgeweckte Zweitklässler können sich als "Frühstarter" schon an den Aufgaben für die Klassen 4-6 versuchen. Umgekehrt spricht nichts dagegen, dass auch Zehntklässler noch die Aufgaben der Klassen 7-9 mit Freude und Erfolg bearbeiten (selbst wenn sie dort deshalb "Spätstarter" genannt werden).

Im Übrigen lohnt auch sonst im Jahr gelegentlich der Blick in die Mathekalender - nicht nur um Aufgaben früherer Jahre anzusehen und zu lösen, sondern auch, weil gelegentlich zwischendurch neue Aufgaben online gestellt werden: oft zu Ostern, zuletzt gab es bei MiA aber auch ein Halloween-Rätsel.

Für Grundschüler gab es außerdem von der Humboldt-Universität Berlin bzw. dem Verein, der den Känguru-Mathewettbewerb durchführt, zwei weitere Mathe-Adventskalender, nämlich die Mini-Variante für die 1./2. und die Maxi-Ausgabe für die 3./4. Klassenstufe. "Nur so" konnten sich auch Ältere an den Aufgaben versuchen, denn ein Account kann und braucht dazu nicht eingerichtet werden. Allerdings gibt es außer Spaß auch nichts zu gewinnen. Die Aufgabe des Tages wurde sofort beim Anklicken des vorstehenden Mini- oder Maxi-Links angezeigt (sodass das Suchen des richtigen Tages in einem bunten Bild mit 24 zufällig angeordneten Türchen leider entfällt). Da der 24.12.2023 inzwischen vorbei ist, gibt es keine Tagesaufgabe mehr. Allerdings sind z.Z. am rechten Rand unter "Hier gibt es alles Nötige zum Drucken" die bisherigen Tagesaufgaben (also alle vom Dezember 2023) in einer pdf-Datei abrufbar und am Ende dieser Datei werden sogar die richtigen Lösungen genannt. Die Kalender der letzten sechs Jahre sind hingegen in der Tabelle unten auf der Mini- oder Maxi-Seite verlinkt. Alle früheren Aufgaben (alle Känguru-Aufgaben, nicht nur die Adventrätsel, z.T. zurück bis 1998) gibt's auch: Oben auf der Mini- oder Maxi-Seite ist eine Leiste mit den Reitern 'Home', 'Wettbewerbe', 'Aufgaben', 'Chronik' und 'International'. Klickt man auf den Reiter 'Aufgaben', kommt man auch zu den älteren Aufgaben (und Lösungen). Der Mini- und der Maxi- Kalender können auch erreichet werden über

www.mathe-kaenguru.de/advent


Auf meiner Physik-Seite wird außerdem (bei den Wettbewerben) auf einen physikalischen Adventskalender hingewiesen: PIA - Physik im Advent. Hier konnten Videos von Vorgängen, Phänomenen oder Experimenten angesehen werden. Dazu wurde dann eine Frage gestellt, die beantwortet werden muss Wer - um etwas zu gewinnen - seine Antworten einschicken wolle, musste sich dazu einmal anmelden. Gegenüber früher wurde das Konzept offenbar etwas verändert: vor Jahren musste man sich in jedem Fall vorab anmelden und Material besorgen oder vorbereiten, um damit selbst Experimente nach Anleitung durchzuführen und auszuwerten. Jetzt ging es (und geht's) auch ohne Anmeldung. Man musste 'nur' die vorgeführten Versuche erklären oder am Tag selbst einfache Bastelanleitungen herunter laden und ausführen. 2023 war den einzelnen Videos zum Glück nicht mehr so viel Allgemeines vorangestellt, wie 2022.. Unter 'KALENDER' in der Kopfleiste können auch Anfang Februar 2024 noch alle Türchen geöffnet werden. Schade, dass oben sofort das Lösungsvideo angeboten wird - noch nicht ansehen, sondern etwas runter scrollen: Darunter findet sich nämlich unter "Experiment" das Aufgabenvideo und darunter werden nochmal schriftlich die auch im Video gestellten Fragen wiederholt.


Interessant für alle, die sich gerne mit Geheimschriften und der Ver- bzw. Entschlüsselung beschäftigten, dürfte zudem der Kalender Krypto im Advent sein, herausgegeben von der Karlsruher IT-Sicherheitsinitiative in Zusammenarbeit mit der dortigen Pädagogischen Hochschule. Die Aufgaben vom Dezember 2023 kann man wohl ohne Anmeldung nicht (mehr) sehen, allerdings noch die Beispiele von 2021. 2022 war der Wettbewerb ausgefallen. Zuvor gab zwei Versionen: für 'Einsteiger' (Klassen 3 bis 6) und für 'Fortgeschrittene' (Klassen 7 bis 9). Außerdem wird auf den KiA-YouTube-Kanal mit Erklärvideos hingewiesen.

Interesse an der Kryptologie? Zwar ohne Filmchen, aber oft mit herunterlad- und ausführbaren Java-Programmen (Anwendungen bzw. Applications) findet man ausführliche Informationen und Erklärungen auf dem Niveau eines Informatik-Leistungskurses der Oberstufe auf meinen Informatik-Seiten i) und k) zur Kryptologie, auf denen klassische (symmetrische) bzw. moderne (asymmetrische) Krypto-Verfahren behandelt werden.

Und zum Advent passt natürlich auch das weiter unten auf dieser Seite besprochene Haus vom Nikolaus.


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Mathematik zur Corona-Pandemie

Durch die Corona-Pandemie war auch die Mathematik gefordert, um verschiedenste Behauptungen seriös zu prüfen und die Diskussion zu versachlichen. Zu Beginn - im Februar und März 2020 - ging es zunächst darum, ein Gespür für das exponentielle Wachstum zu vermitteln, um die Dringlichkeit z.B. der AHA-Regeln zu verstehen. Wachstumsmodelle, Auswirkung der Senkung der Infektionsrate auf die voraussichtliche Dauer der Pandemie sowie die Erklärung und Berechnung der Kenngrößen Verdoppelungszeit, 7-Tage-Inzidenz, Reproduktionsrate R bzw. (7-Tage-) R-Wert wurden nach und nach hier veröffentlicht ebenso wie Anregungen, die durch ungeschützte Großereignisse oder Quer-'denker'-Demos verursachten Todesfälle zu berechnen. Die Abfolge gibt dadurch auch implizit Hinweise auf die Chronologie des Covid-Geschehens.

Mathematisch wurden Wachstumsmodelle (insbesondere exponentielles und logistisches Wachstum, zum Vergleich aber auch lineares und beschränktes Wachstum) sowie die Grundrechenarten bzw. arithmetische Mittel benötigt. Rechnungen und Formeln im Text, drei Tabellenkalkulationsmappen (auch zum Herunterladen und Ausprobieren/Ändern) sowie die zusätzliche Modellierung der Wachstumsfälle mit der Simulationssoftware DynaSys (auf meiner Informatik-Seite) ergänz(t)en meine Berichte.

Im April 2023 habe ich dann die verschiedenen Artikel zusammen mit einer abschließenden Würdigung ausgelagert auf diese

Extraseite: Mathematik zur Corona-Pandemie






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Klausuren, Klassenarbeiten, Arbeitsblätter, Unterrichtsentwürfe, Lehrpläne und Abituranforderungen



Materialien & Klausuren aus der SII

Auf einer Sonderseite gibt's eine einige meiner Klausuren aus dem Unterricht in der Oberstufe (EF bis Q2). Natürlich gibt's zu den Aufgaben auch Lösungen, die man sich aber erst nach eigenem, intensiven Bemühen um die richtigen Resultate ansehen sollte.

Extra-Seite: Mathe-Klausuren SII
(bis Sommer 2017)


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Zentralabitur

Wegen des leider auch in Nordrhein-Westfalen eingeführten Zentralabiturs werden im aktuellen und künftigen Mathematik-Unterricht immer einige kleinere Themenverschiebungen und/oder veränderte Gewichtungen vorgenommen, um Schülerinnen und Schülern optimal auf die jeweils für den Abiturjahrgang angekündigten Prüfungsaufgaben bzw. die jeweils als besonders wichtig erklärten Themengebiete vorzubereiten. Die nachfolgend angegebenen Verweise wurden im Juni 2016 auf die inzwischen sichereren https-Webseiten des Schulministeriums abgeändert.

Eine Übersicht über Themen sowie die Aufgaben der letzten Jahre für das Zentralabitur im Gymnasium finden sich für verschiedene Fächer, u.a. für Mathematik, auf

https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentralabitur-gost/faecher/

Andere, über die zentralen Vorgaben hinaus gehende lehrplanmäßige Stoffe können und sollen natürlich weiterhin behandelt und in normalen Klausuren und mündlichen Abiturprüfungen abgefragt werden.

In unserem Bildungsgang 1 "Abitur mit Schwerpunkt Mathematik und Informatik" (=Bildungsgang nach Anlage D21 der APO-BK), der zum Berufskolleg bzw. Beruflichen Gymnasium gehört, begann das Zentralabitur im Jahr 2008 mit Informatik und erst 2009 mit Mathematik. Leider wird der Bildungsgang am Lessing-BK in Düsseldorf nicht mehr angeboten; das letzte Abitur fand hier 2023 statt. Für den Mathematik-Leistungskurs dieses Bildungsgangs an anderen Schulen des Landes NRW findet man auf der folgenden Seite die jeweils gültigen aktuellen Vorgaben und Hinweise:

https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentralabitur-berufliches-gymnasium/bildungsgaenge/bildungsgang.php?id=21

Die zugehörigen Richtlinien ('Bildungspläne') stehen auf

https://www.berufsbildung.nrw.de/cms/bildungsgaenge-bildungsplaene/berufliches-gymnasium-anlage-d/bildungsplaene/kff-informatik.html


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Lehrplan für die S I

Die Kernlehrpläne für die Klassen 5 bis 10 der Gymnasien in Nordrhein-Westfalen berücksichtigen wieder die Schulzeitverlängerung von G8 auf G9 (G8=Gymnasium mit nur acht Jahren von Klasse 5 bis Jahrgangsstufe 12 - statt früher und jetzt wieder neun Jahre von 5 bis 13). Hier eine Übersicht über die Pläne aller Fächer

https://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-i/gymnasium-aufsteigend-ab-2019-20/index.html

bzw. speziell zur Mathematik https://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/lehrplan/195/g9_m_klp_3401_2019_06_23.pdf




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Trigonometrie und Fotovoltaik

Hier geht es -- ähnlich wie in der weiter unten bei der Analysis erwähnten Einführung in die Integralrechnung -- um die Einbindung unserer (damaligen) Fotovoltaik-Anlage in den (Mathematik-) Unterricht, hier in der SI. Mehr um Sonnenstrom gibt's auf meiner "Fotovoltaik"-Hauptseite. Den Stundenentwurf für die 10. Klasse gibt's auf einer

Extra-Seite

Meiner Meinung nach muss man dem Schülerinnen und Schülern durch geeignete Beispiele und die vielfältige Erschließung von Alltagssituationen immer wieder verdeutlichen, wo und wie Mathematik gebraucht wird. Mathematik in der Schule darf keine abstrakte, unnütze Wissenschaft bleiben. Wenn die Schülerinnen und Schülern einen Sinn erkennen, lernen sie leichter, besser und schneller, was evtl. zusätzlichen Zeitaufwand für das Mathematisieren der Alltagssituation mehr als wettmacht. Mehr dazu finden Sie im folgenden Kapitel.
(Natürlich muss insbesondere in der SII gelegentlich auch dargestellt werden, wie etwa ein Mathematik-Studium an der Universität aussieht, um Fehlentscheidungen bei der Studienwahl vorzubeugen).




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Anwendungsbezug und Realitätsnähe in der Mathematik



Wirkliche Anwendungen kommen leider auch heute noch im Mathematik-Unterricht meist zu kurz. Es reicht nicht, mathematische Formeln und Verfahren innermathematisch anzuwenden oder dürftig in kurze Texte einzukleiden, die einen stark abstrahierten und idealisiert-verkürzten Verweis auf Alltagsprobleme andeuten. Solches Vorgehen hat in bestimmten Phasen sicher auch seinen Wert und Platz im Unterricht, lässt aber einen wichtigen Aspekt außer Acht:

Um Schülerinnen und Schülern den Sinn der Mathematik klar zu machen und sie zu befähigen, Mathematik selbst im Alltag anzuwenden - auch dann, wenn zufällig gerade keine Schulbuchaufgabe am Problem aufgedruckt ist - , ist es unerlässlich, im Unterricht auch das Mathematisieren und Abstrahieren selbst immer wieder zu üben. Ausgehend von offenen alltäglichen Situationen oder Problemen muss das allmähliche Analysieren, Herausarbeiten sinnvoller Fragestellungen und mathematische Formalisieren und Bearbeiten immer wieder durchgeführt und eingeübt werden. Auch über dabei durchgeführte Vereinfachungen, Annahmen, Idealisierungen und Grenzen der Modelle und Verfahren muss nachgedacht und gesprochen werden.

Am besten geschieht dies natürlich mit Handlungsbezug und in realen Situationen, möglichst aus dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler. Problemlagen können (und müssen) aber auch auf verschiedene Art in den Unterricht hereingeholt und vorgestellt werden. Die neuen Medien können dabei helfen, sind aber nicht automatisch Garant für einen besseren Unterricht oder einen aufrichtigen Zugang zur Realität. In meinen Rezensionen zur Mathematik-Software (s.u.) musste ich leider häufig bemängeln, dass dort herkömmliche Verkürzungen elektronisch fortgeschrieben werden.

Auf jeden Fall ein deutlicher Schritt in die richtige Richtung ist hingegen das für den Oberstufen-Unterricht von Willi van Lück angelegte (inzwischen von Antonius Warmeling betreute) reichhaltige Webangebot auf dem südtiroler Blikk-Server:

Reale Probleme modellieren mit Mathe
http://www.blikk.it/blikk/angebote/modellmathe/

In Anleitungen für Schüler und Lehrer wird die sinnvolle Nutzung der Materialien vorgeschlagen. Gedacht ist vor allem daran, dass neue mathematische Teilgebiete im Unterricht nicht fachsystematisch durch Entwickeln des mathematischen Kerns eingeführt werden müssen, sondern Schülerinnen und Schüler in Kleingruppen den Auftrag erhalten, sich jeweils aus dem Webangebot ein Problem heraus zu suchen und es zu bearbeiten. Erst nach dem Vorstellen verschiedener Probleme und verschiedener Ansätze durch die Gruppen soll dann das Gemeinsame, der mathematische Gedanke bzw. das neue Verfahren abstrahiert und formalisiert werden. So wird jedenfalls klar, wozu das Verfahren gebraucht wird. Und die Lernenden haben die erste Anwendung dazu schon - medial vermittelt - zumindest virtuell "erlebt". Stöbern auf diesen Webseiten lohnt auf jeden Fall!

Nach dem großen Erfolg des gerade vorgestellten Webangebots "Reale Probleme modellieren mit Mathe" für die SII wurde von den gleichen Autoren (Willi van Lück, Antonius Warmeling, Hans Kratz u.a.) eine ähnliche internet-gestützte Mathe-Umgebung für jüngere Schülerinnen und Schüler (etwa der Klassen 3 bis 6, evtl. auch bis Klasse 7) aufgebaut. Auch hier lohnt das Reinschauen sowie das Lesen auch in den Handreichungen und pädagogischen Kommentaren und natürlich das Arbeiten mit dem bereitgestellten Material:

Mathe Überall (f. Klassen 3 bis 7)
http://www.blikk.it/angebote/primarmathe/

(Weitere Hinweise sowie Links zum Einsatz neuer Medien, auch in http://www.blikk.it/angebote/schulegestalten/neuemedien/infothek.htm.)

Auch die Seite des Lehrers Werner Brefeld,

Mathematik - Hintergründe im täglichen Leben

nennt Beispiele echter Anwendungen der Mathematik. Anders als bei den vorgenannten südtiroler Seiten ist hier allerdings der Schritt von der komplexen Anwendungssituation hin zur schulbuchaufgaben-ähnlichen, mathematischen Beschreibung meist schon getan (was allerdings nach manchem eher traditionellem Unterricht den Einstieg vielleicht vereinfacht und so dann auch Mut zu Behandlung von Problemen aus realistischeren Zusammenhängen macht).
Die gut gemeinten Aktionen zum Jahr der Mathematik 2008 (s.u.) hatten leider noch nicht die Breitenwirkung, um die Lebensnähe der Mathematik mehr ins Bewusstsein zu rücken!

Auf dem auf dem nordrhein-westfälischen Bildungsserver Learn:Line wurde früher auch Mal "in einer Ecke" realitätsbezogeneres Material gesammelt. Inzwischen wurde der Webauftritt neu organisiert und wird jetzt vom Schulministerium betrieben. Zunächst muss man auf

http://www.learnline.schulministerium.nrw.de/suche/Mathematik

den Ort des nächsten Medienzentrums wählen. Sucht man dann nach "Mathematik", werden z.B. für Düsseldorf über 3300 Treffer gemeldet. Zum Glück müssen nicht alle durchgeblättert werden; die Suche kann nach Medientyp oder nach Schlüsselwörtern verfeinert werden (außerdem lassen sich dort oben statt einfach nur "Mathematik" auch noch "angewandte Mathematik" oder auch "entdeckendes Lernen" mit Bildungsbereich und Fächern eingeben).




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MUED e.V.

Die MUED ist ein Verein engagierter Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer aller Bundesländer und Schulformen. Ziel ist es, beziehungshaltigen, realitätsnahen Unterricht zu gestalten und Schülerinnen und Schüler als Menschen Ernst zu nehmen (und die Lerninhalte und -formen entsprechend zu wählen). Statt Mathematik an trockenen Buchaufgaben zu üben, sollen möglichst echte, sinnvolle Beispiele verwendet werden. Der zusätzliche Nebeneffekt, dass Schülerinnen und Schüler dadurch außer Mathematik auch noch etwas über den behandelten Gegenstand lernen, ist gewollt. Leider ist es bei der Unterrichts-Vorbereitung nicht immer leicht, relevante Informationen zu beschaffen (woran die Schülerinnen und Schüler übrigens beteiligt werden können und sollen!). Deswegen werden erstellte Arbeitsmaterialen und Erfahrungen untereinander ausgetauscht bzw. arbeiten einige Lehrerinnen und Lehrer ihre Materialien dankenswerterweise soweit aus, dass sie aus einem Mitglieder-Bereich des Internets herunter geladen und verwendet werden können oder sogar in Buch- oder Broschüren-Form allgemein gekauft werden können. Inzwischen sind viele Hunderte, wenn nicht gar Tausende dieser so genannten Unterrichtseinheiten verfügbar; eine ganze Reihe von Freiwilligen (die allerdings durchaus noch Verstärkung brauchen könnten) arbeitet daran, auch ältere Einheiten immer wieder zu prüfen und auf den aktuellen Stand zu bringen und die Kataloge zu aktualisieren. Wegen der früher einmal auf Papier in großen Karteikästen bereit gehaltenen Unterrichtseinheiten hatte der Verein den Namen "Mathematik-UnterrichtsEinheiten-Datei" angenommen, der heute vielleicht etwas unglücklich wirkt. Aber es kommt ja nicht auf den Namen, sondern auf den Inhalt bzw. auf die Leistung an!

Die MUED-Zentrale ist 2019 von Appelhülsen nach Münster umgezogen und hat seither die Adresse

MUED e.V.
Windthorststr. 7, 48143 Münster

Die MUED hat in den letzen Jahrzehnten spürbar positiven Einfluss auf die Aufgabenkultur insbesondere in Nordrhein-Westfalen, aber auch in anderen Bundesländern nehmen können. Sie tritt auf vielen Bildungsmessen mit einem Stand auf; ihre Mitglieder oder von ihr beeinflusste Didaktiker und Autoren veröffentlichen immer wieder in Fachzeitschriften für Schulmathematik. Der Verein veranstaltet jährlich zwei Tagungen, wobei insbesondere die große Herbsttagung mit spannenden Vorträgen und Mitmach-Arbeitsgruppen als lohnende Fortbildung und zum großen Erfahrungsaustausch und zur gegenseitigen Ermutigung im Ringen um weitere, sinnhafte Unterrichtsinhalte und geschickte Aufarbeitung und Vermittlung gestandenen Lehrerinnen und Lehrern ebenso wie Berufsanfängern sehr zu empfehlen ist.

Ein viermal jährlich erscheinender Rundbrief sowie die monatlichen, jetzt von verschiedenen Regionalgruppen im Wechsel vorgestellten 'Arbeitsblätter des Monats' ergänzen das Angebot.

Der Verein ist unter

https://www.mued.de

im Internet vertreten. Eine erste Annäherung kann z.B. über das erwähnte jeweilige Arbeitsblatt des Monats erfolgen, das oft aktuelle Themen aufgreift.


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Stochastik in Unterricht und Alltag

Außer in den nachfolgenden Abschnitten findet sich außerdem viel Stochastik in meinen Klausuren!



Stochastik in der SII

Weil das Testen von Hypothesen noch nicht in allen Schulbüchern und Aufgaben völlig korrekt oder nachvollziehbar behandelt wird, habe ich eine Zusammenfassung zum Thema verfasst. Ursprünglich war das Blatt für Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer gedacht und wurde jetzt nochmal etwas verbessert, bleibt aber sehr knapp:

Übersichtsblatt "Richtiges_Hypothesentesten.pdf" (111 kB)



Außerdem finden Sie umfangreiche (meist ältere, aber noch nicht veraltete) Beiträge und Arbeitsmaterialien zur Stochastik in der Sekundarstufe II, u.a. zu

zum Ansehen und/oder Herunterladen zusammengefasst in einer pdf-Datei:

Stochastik in der SII -- 23 Seiten Beiträge, Arbeitsblätter, Klausuraufgaben und Lösungen aus dem bzw. für den Unterricht; erprobt im Mathematik-Grundkurs 12/13: Texte mit Formeln und Abbildungen (pdf-Reader nötig).
Lesen (oder Download mit Rechtsklick und "Ziel speichern unter.."): stoch_s2.pdf, 626 kB

Mehr zu dem in der pdf-Datei erwähnten Mathematiker C. F. Gauß gibt's übrigens auf der Webseite genie-gauss.de, die unten am Ende meiner Verweise aufgeführt ist.



Zur eigenen Berechnung von Tabellen der Binomial-Verteilung für beliebige n und p gibt's außerdem eine interaktives Excel-Arbeitsblatt, das nach dem Herunterladen (Rechtsklick auf den nachfolgenden Link und "Ziel speichern unter..") natürlich auch mit vielen anderen Tabellenkalkulationsprogrammen benutzt werden kann, u.a. auch mit dem kostenlosen Calc von LibreOffice (bzw. von OpenOffice) oder dem kostenlosen PlanMaker aus dem Gratis-Office-Paket Softmaker-FreeOffice:

Rechenblatt "binomialtabelle.xls" (96 kB)

Und Stichprobenergebnisse binomialverteilter Zufallsgrößen lassen sich - zur Veranschaulichung von Lieferanten- oder Abnehmerrisiko bzw. der Signifikanz von Hypothesentests - auf meiner nachfolgenden Extraseite mit Javascript online zufällig erzeugen bzw. simulieren:

Extraseite: Simulation von Zufalls-Stichproben

Und natürlich gehören auch die beiden nachfolgenden Beiträge (und später eine Buchrezension) zur Stochastik in Sekundarstufe II:



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Hypothesentest paranormaler Fähigkeiten

Am 19. Oktober 2017 hatte ich die Fernsehsendung der Reihe "Planet Wissen" mit dem Titel "Übersinnliche Phänomene - Was ist dran?" gesehen, die in mehreren ARD-Programmen, u.a. im WDR, ausgestrahlt worden war. Nach erneuter Sendung am 16.10.2018 gab es das Video noch bis Oktober 2023 im Internet. Im Februar 2024 war es aber leider nicht mehr in der Mediathek zu finden. Offenbar muss man erst auf eine erneute Ausstrahlung warten.

U.a. wurde dort von einer Frau berichtet (ab etwa der 51. Minute im Video), die behauptete, verschmutzte Blumenerde durch Pendeln erkennen zu können. Sie wollte damit den von der GWUP -- Gesellschaft zur wissenschaftlichen Untersuchung von Parawissenschaften -- ausgesetzten Preis von 10.000,- € gewinnen, wenn sie ihre Fähigkeiten unter Laborbedingungen nachweisen könne.

Sie war mit folgendem Test einverstanden: Auf letztlich insgesamt 13 langen Tischen standen in ausreichendem Abstand jeweils 10 Schalen mit Blumenerde, wobei jeweils genau eine Schale pro Tisch durch Beimischung von Zucker verunreinigt war. Das Preisgeld sollte ausgezahlt werden, wenn sie an mindestens 10 der 13 Tische die Schale mit der verunreinigten Erde richtig identifizieren könnte.

Die Dame, die von ihren besonderen Fähigkeiten überzeugt war, lies einen Gegenstand über den Schalen pendeln und bezeichnete pro Tisch eine Schale als verunreinigt. Sie war überzeugt, an allen 13 Tischen die richtige Schale gefunden zu haben. Tatsächlich hatte sie allerdings nur an zwei Tischen die verunreinigte Erde gefunden, hielt das aber dann immer noch für einen Beweis ihrer übersinnlichen Fähigkeiten, auch wenn sie den Preis nicht gewonnen hatte. Der Versuchsleiter konnte sie anscheinend nicht wirklich davon überzeugen, dass jeder beliebige Teilnehmer allein durch zufälliges Raten mit hoher Wahrscheinlichkeit zwei Treffer erzielt hätte.

Die GWUP, die offenbar schon seit Jahrzehnten einmal jährlich in den Räumen der Uni Würzburg Tests mit Pendlern, Wünschelrutengängern und weiteren Kandidatinnen und Kandidaten durchführt, hat übrigens das ausgelobte Geld noch nie bezahlen müssen: kein selbsternanntes Medium konnte seine angeblichen Fähigkeiten unter den mit den Kandidaten abgesprochenen, arrangierten und kontrollierten Bedingungen unter Beweis stellen.

Insoweit hatte mich die Fernsehsendung nicht weiter überrascht. Umso erstaunter war ich, als gegen Ende der Sendung einer der beiden Studiogäste plötzlich über den Test schimpfte: Walter von Lucadou, Leiter der Parapsychologischen Beratungsstelle in Freiburg, behauptete unvermittelt und ohne weitere Erklärung, einen solchen Test könne niemand bestehen, und es sei unethisch, die naive Teilnehmerin, die keine Ahnung von Stochastik habe, so vorzuführen (etwa in der 55. Minute des Videos)

Im Fernsehbericht hatte sich aber bis dahin niemand über die Pendlerin lustig gemacht oder abfällig über sie gesprochen. Nur Herr von Lucadou bezeichnete sie jetzt öffentlich als naiv. Wer an einem solchen Test teilnimmt, um Geld zu gewinnen und seine behaupteten Fähigkeiten zu demonstrieren, und sich mit den Versuchsbedingungen einverstanden erklärt hat, muss meiner Meinung nach auch hinnehmen, dass sachlich über eine eventuelle Niederlage berichtet wird. Jeder Sportler im Wettkampf muss von Fans und Berichterstattung weit Schlimmeres ertragen. Die Teilnehmerin muss auch keinen Stochastikkurs absolviert haben, um behaupten zu können, dass sie alle dreizehn (auf jeden Fall aber mindestens zehn) Tische richtig bewerten könne. Der Vorwurf, ein solcher Test sei viel zu hart, um bestanden werden zu können, erschien mir auf Anhieb ebenfalls ungerechtfertigt, blieb aber im Gedächtnis und regte mich nachträglich zu folgendem Nachrechnen an:



Entsprechend ihrer eigenen Behauptung muss man von der Vermutung H1 ausgehen, die Teilnehmerin verfüge über besondere ("paranormale") Erkenntnismöglichkeiten (ihre Erkenntnisrate p sei also höher als eine willkürlich gesetzte Grenze p0, d.h. H1: p > p0). Entsprechend muss man versuchen, zum Beweis von H1 das Gegenteil, nämlich die Nullhypothese H0: p <= p0 zu widerlegen. Geht man - mangels mitgeteilter Informationen - davon aus, dass auch hier mit der oft üblichen Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha <= 5 % für den maximalen Fehler 1. Art gearbeitet wird, und die Entscheidungsregel ja bekannt ist (Preisgeld und damit Ablehnung von H0 bei 10 bis 13 richtigen Tischen, sonst - bei 0 bis 9 Richtigen - kein Preis bzw. Vereinbarkeit mit H0), so sollte sich p0 aus der aufsummierten Binomialverteilung ermitteln lassen, weil

(*)  Bn,p,k(13; p0; 10..13) = P (X <= 13) - P (X <= 9) <= 0,05 = 5 % 

gefordert ist. Mit einem modernen Taschenrechner oder auch durch Probieren (also Einsetzen verschiedener p-Werte) z.B. in meinem Rechenblatt "binomialtabelle.xls" (weiter oben auf dieser Seite) findet man, dass bei p0 = 0,5 die Bedingung (*) erfüllt ist (bei p0 = 0,51 hingegen nicht mehr):

Bildschirmfoto von meiner "binomialtabelle.xls" mit passenden Werten für paranormalen Test

Die GWUP verteilt das Preisgeld also im Prinzip schon, wenn die Pendlerin erkennbar mindestens die Hälfte der Tische richtig beurteilt. Wegen der unvermeidlichen zufälligen Ergebnis-Abweichungen bei kleinen Versuchs- bzw. Tischzahlen reicht es aber nicht, etwa auf 7 (nächste ganze Zahl über dem Erwartungswert von 6,5 = 0,5 * 13) Tischen die Schale mit der verunreinigten Erde genau zu lokalisieren. Erst bei 10 richtig gelösten Tischen liegt das Ergebnis soweit über dem zufälligen ‚statistischen Rauschen', dass die 10.000 € ausgezahlt werden sollen - obwohl auch bei dieser Entscheidungsregel noch in rund einem von zwanzig Tests (5 %) die Prämie insofern zu Unrecht gewährt würde, weil das gute Abschneiden eben doch nur durch glücklichen Zufall von einem Kandidaten mit in Wirklichkeit unter 50 % Erkennungsrate bei den Tischen erreicht wird.

50 % richtige Tische zu fordern, erscheint auf den ersten Blick sehr fair. Andererseits soll nicht vergessen werden, dass auf einem Tisch nicht etwa nur zwei, sondern zehn Schalen stehen. Die Chance, durch reinen Zufall einen ganzen Tisch richtig zu beurteilen, liegt also nicht bei 50 %, sondern nur bei 10 %!

Und um 10 von 13 Tischen richtig zu beurteilen, müsste der einzelne Tisch auch nicht mit 50 %, sondern mit einer Sicherheit von 76,9 % richtig erkannt werden (erst dann liegt der Erwartungswert bei 10 Tischen) - also 7,7 mal besser als beim unbedarften Raten. Und selbst für ein Medium mit 76,9-%-iger Tischerkennung ist das Risiko 2. Art mit etwa 35 % recht hoch und 7 mal so groß wie das Risiko 1. Art. Das ist ungünstig für den Kandidaten.

(Zur Erinnerung: Ein Fehler 2. Art entstünde, wenn durch ein zufällig schlechtes Stichprobenergebnis ein in Wirklichkeit fähiges Medium fälschlich nicht als solches erkannt würde. Das Risiko 2. Art wäre die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers 2. Art beim Test. - Beim Fehler 1. Art wird hier hingegen ein schlechtes Medium wegen zufällig gutem Stichprobenergebnis/glücklichem Raten irrtümlich für eine Person mit besonderer Begabung gehalten. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist das Risiko 1. Art, auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt).

Legt man das Anforderungsniveau für Abiturnoten in NRW zu Grunde, müsste die Pendlerin für 76,9-%-ige Tischerkennung also schon "gut" sein, um den Preis zu erreichen (ab 75 % der Rohpunkte soll es für eine Abiturarbeit eine glatte Zwei geben; ab 80 % gibt es eine Zweiplus, ab 85 % eine Einsminus usw.). Einer Person mit nur "ausreichenden" oder "befriedigenden" besonderen Eigenschaften will die GWUP die ausgelobten 10.000 € offenbar möglichst nicht zahlen. Liegt hier der Grund für die abfällige Äußerung seitens Herrn von Lucadou? Wenn er den Test als überzogen und als nicht bestehbar verdammt, geht er wohl davon aus, dass es keine Personen mit guten paranormalen Fähigkeiten gibt - wer wollte da widersprechen.

Die Freiburger Beratungsstelle zeigt sich sonst allerdings nicht so skeptisch: nach eigenen Angaben erreichen sie pro Jahr einige Tausend Anrufe von Leuten, die vor allem nicht für verrückt gehalten werden wollen, weil sie für sie unerklärliche Phänomene beobachtet haben. Dr. Dr. von Lucadou, der nicht nur in Physik, sondern auch in Psychologie promoviert hat, nimmt diese Anrufer ernst, hört ihnen unvoreingenommen zu und beruhigt, dass auch andere Ähnliches erlebt hätten. Auch wenn im weit überwiegenden Teil der geschilderten Fälle bald natürliche Erklärungen gefunden werden, bleibt wohl ein kleiner Prozentsatz, wo dies nicht gelingt. Herr von Lucadou berichtet von spukhaften Ereignissen, die zwar abgestellt (weil Lebensbedingungen verändert oder uneingestandene Wünsche erkannt und beachtet wurden), aber nicht wirklich erklärt werden konnten. Letzteres sei allerdings auch nicht sein Ziel; vielmehr gehe es darum, den Anrufern zu helfen. Und solange man noch nicht genau wisse, durch welchen exakten physikalischen Mechanismus bei psychosomatischen Krankheiten z.B. negative Gedanken ein Magengeschwür im eigenen Körper verursachen können, hält er es auch für möglich, dass Gedanken sogar nach außen wirken. Die von ihm nebulös verwendeten Begriffe der Verschränkung (der in der Physik allerdings nur bei Paaren isolierter Elementarteilchen unter ganz bestimmten Bedingungen vorkommt) und der Musterübereinstimmung überzeugen nicht wirklich und ersetzen keine fehlende Erklärung. Hier wird meiner Meinung nach der von ihm erhobene naturwissenschaftliche Anspruch klar verlassen.

Die GWUP veranstaltet die jährlichen Tests übrigens, um zu zeigen, dass es keine paranormalen Fähigkeiten gibt (auch wenn viele der Kandidaten sich für übersinnlich begabt halten - es aber unter Testbedingungen nie nachweisen konnten). Ab welcher ‚Qualität' die GWUP einen Preis anbietet, bleibt ihr natürlich überlassen. Und eine Kandidatin, die bis zum Schluss des Tests zu 100 % überzeugt war, alle 13 Tische richtig erkannt zu haben, weil sie ja klare Signale beim Pendeln erfahren habe, hätte sicher auch am Test teilgenommen, wenn sie die vorstehende Rechnung durchgeführt und von der 76,9-%-Marke gewusst hätte.

Zur Abrundung noch die zu erwartende Tischzahl für den völlig unbegabten Rater (der blind auf eines der 10 Schälchen pro Tisch tippt und damit nur eine 10-%-ige Chance auf eine richtige Tischerkennung hat): Der Erwartungswert liegt dann wegen 0,1 * 13 = 1,3 bei 1,3 richtig geratenen Tischen - wobei natürlich kein Tisch zu einem Bruchteil richtig sein kann, sondern nur ganze Zahlen als Ergebnisse möglich sind. Wegen Bn,p,k (13; 0,1; 1) = 0,3672 und Bn,p,k (13; 0,1; 2) = 0,2448 liegt die Wahrscheinlichkeit, bei zufälligem Raten 1 bis 2 Tische richtig zu haben, bei über 61 %. Nur in einem Viertel der Fälle (25,4 %) wird ein ratender Laie gar keinen richtigen Tisch benennen können. Will man zufälliges Raten mit höchstens 5-%-iger Irrtumswahrscheinlichkeit ausschließen, darf dies erst ab 4 (bis 13) richtig geratenen Tischen passieren. Die 2 von der Kandidatin im Film richtig erpendelten Tische ergeben also wirklich keinerlei Hinweis auf besondere Fähigkeiten!



Quellen und Verweise / Links

Weiterführende Aufgaben

  1. Rechne nach, dass - wie im letzten Absatz des vorstehenden Textes angegeben - beim einseitigen Test erst bei 4 und mehr richtig geratenen Tischen (à 10 Schalen, von denen genau eine verunreinigte Erde enthält) eine signifikante Abweichung vom zufällig zu erwartenden Ergebnis vorliegt, sodass mit alpha = 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit eine besondere Fähigkeit attestiert wird. Begründe auch, warum nicht zweiseitig getestet wird.
  2. Führe die Rechnung von 1. für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von nur 1 % durch.
  3. Nimm an, das Preisgeld würde schon bei 8 (und mehr) richtig geratenen Tischen ausgezahlt. Welches p0 wird dann gefordert?
  4. Jetzt soll das Preisgeld schon ausgezahlt werden, wenn H0: p <= 0,2 widerlegt werden kann (der Kandidat also signifikant mehr als doppelt so gut wie ein zufälliger Rater sein soll). Stelle die Entscheidungsregel für alpha = 5 % auf und bestimme den Fehler 2. Art für ein hypothetisches Medium, das in Wirklichkeit bzw. auf lange Sicht a) 40 %, b) 50 %, c) 76,9 % der Tische richtig erkennen kann.
  5. Nimm für einen Moment an, es gäbe wirklich Personen mit paranormalen Fähigkeiten, die im Mittel 20 % (oder mehr) der Tische richtig erkennen könnten. Der Stichprobenumfang sei wieder n=13, d.h. jede Person soll wieder 13 Tische bewerten. Danach muss entschieden werden, ob die Person ein begabtes Medium oder ein blind ratender Scharlatan ist. Formuliere die Hypothesen und finde die Entscheidungsregel so, dass ein solches Medium höchstens mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % für einen Scharlatan gehalten wird. Ermittle auch den Fehler 2. Art, dass bei diesem Test ein wirklicher Scharlatan als vermeintliches Medium mit paranormalen Fähigkeiten durchgeht.
  6. Die GWUP-Bedingung, dass pro Tisch genau eine Schale verunreinigt ist, macht es den Kandidaten eigentlich sogar sehr leicht: Glaubt beispielsweise ein Kandidat, bei verunreinigter Erde mache das Pendel eine Kreisbewegung, während es sonst in einer Ebene schwingt, so kann er, selbst wenn das Pendel gelegentlich elliptisch schwingt, einfach die Schale mit der rundesten Ellipse aussuchen, um auf die verunreinigte Schale zu tippen. Außerhalb des Labors und des GWUP-Tests weiß man aber nicht, wo wie viel verunreinigte Erde ist. Ein realitätsnaher Test müsste daher eigentlich pro Tisch eine beliebige, unbekannte Anzahl an Schälchen verunreinigen dürfen, was den Test allerdings wesentlich erschwert. Ermittle, mit welcher Sicherheit dann jede einzelne Schale richtig erkannt werden muss, damit im Mittel 20 % aller Tische richtig erkannt werden können.
  7. Die Probleme beim Hypothesentest liegen bekanntlich nicht in der Mathematik, sondern in den vorher getroffenen willkürlichen Festsetzungen. Gehe wieder vom einfachen Test mit genau einer verunreinigten von 10 Schalen pro Tisch aus, und lege p0 und/oder alpha sinnvoll fest:
    Diskutiere und begründe, ab welcher Prozentzahl p0 für einen richtig erkannten Tisch ein Kandidat deiner Meinung nach als Medium mit besonderen Fähigkeiten anerkannt werden sollte und welche Irrtumswahrscheinlichkeit sinnvoll ist, wenn es a) ‚nur' um ein Preisgeld von 10.000 € geht, b) wenn die Kandidatin ihr Geld damit verdient, gutgläubigen Bauherren zum Kauf eines Grundstücks (auch auf einem ehemaligen Deponie-Gelände) zu raten / vom Kauf eines Grundstücks abzuraten / zu einem Umzug zu raten, wenn der Boden ihrer Meinung nach nicht verseucht bzw. verseucht ist, c) wenn der Kandidat für seine nicht verunreinigte Erde besondere heilerische Fähigkeiten behauptet und man befürchten muss, dass ihm im Falle seiner Anerkennung möglicherweise weitere Hunderte Patienten vertrauen, ihm in der Hoffnung auf Heilung ihr Erspartes für ein Schälchen heilende Erde opfern und auf das rechtzeitige Aufsuchen eines normalen Arztes verzichten.


[Den vorstehenden Beitrag "Hypothesentest paranormaler Fähigkeiten" gibt's hier auch zum Download in einer pdf-Datei (134 kB) bzw. sogar komplett mit Lösungen (156 kB) - Achtung: die dort noch angegebenen Verweise auf die Planet-Wissen-Seite haben sich zwischenzeitlich verändert, s.o. Außerdem fehlen die Minutenangaben für die erwähnten Sequenzen innerhalb des Videos]


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Wissenschaftskrise u.a. wegen falschverstandener Hypothesentests

Im Oktober-Heft 2020 berichtet Spektrum der Wissenschaft im Artikel "Metaforschung - Kulturwandel in der Biomedizin" ausführlich darüber, dass sehr viele - nämlich weit mehr als die Hälfte! - der in den letzten Jahren veröffentlichten biomedizinischen Studien unzuverlässig und ihre Ergebnisse nicht repoduzierbar sind. Auch in anderen Fachbereichen sind die Forschungen nicht viel besser; am besten schnitten Physik und Ingenieurwissenschaften ab. Laut Bericht ist neben bewusster oder unbewusster Beeinflussung der Messungen vor allem die Statistik ein großes Problem: Stochastik wird überwiegend falsch verwendet und ihre Aussagen können nicht richtig interpretiert werden!

Wenn bei einem Signifikanztest (Hypothesentest) 5% Irrtumswahrscheinlichkeit festgelegt werden, glauben fast alle Forscher, wäre das Ergebnis zu 95% sicher. Die 5 % beziehen sich aber -- wie Leserinnen und Leser der vorstehenden Beiträge hier auf dieser Seite wissen -- nur auf den Fehler 1. Art, d.h. die irrtümliche Ablehnung der getesteten Hypothese H. Wurde der Test richtig aufgebaut, ist die Hypothese H aber nicht die ursprüngliche Vermutung, sondern deren Gegenteil, nämlich die Gegen- oder Nullhypothese Ho. Dann bestätigt die Ablehnung von Ho die ursprüngliche Vermutung, d.h. die zu überprüfende Aussage. Eine irrtümliche Ablehnung von Ho führt damit zu einem falsch-positiven Ergebnis für die Vermutung, die beim Test mit der Gegenhypothese Ho tatsächlich recht selten wäre (<= 5%). Allerdings wird im vorgestellten Zeitschriften-Artikel mitgeteilt: "Hier regt sich ebenfalls Kritik, denn mehr als 95 Prozent aller Studien bestätigen die untersuchte Hypothese" (Spektrum der Wissenschaft, Heft 10.20, S. 41). Das ist nur möglich, wenn gar nicht Ho, sondern fälschlich direkt die Vermutung getestet wurde - und eine Nichtablehnung als eine Bestätigung aufgefasst wird (was ebenfalls nicht stimmt, weil ein positiver Ausgang die Hypothese zwar für möglich hält, aber nicht wirklich bestätigt - auch das Gegenteil ist weiterhin möglich). Hier müsste dann mit dem Fehler 2. Art gerechnet werden. Sein Risiko ist i.A. schwer zu beziffern, weil man die wahre Wahrscheinlichkeit kennen müsste. Insbesondere, wenn diese nahe bei der getesteten Wahrscheinlichkeit liegt und die Stichprobe klein ist, können (trotz des 5%-Signifikanzniveaus für das Risiko 1. Art) hier aber riesige Fehler-Wahrscheinlichkeiten durchaus von 80 bis 90% und noch höher entstehen - der Artikel spricht statt vom Risiko 2. Art von der 'Power' eines Tests und merkt an: "Befragungen von Studenten, jungen Wissenschaftlern und sogar gestandenen Professoren haben gezeigt, dass den meisten Forschern die Bedeutung dieses Umstands gar nicht bewusst ist." (a.a.O, S. 41).

Außerdem führt die leider immer noch verbreitete Ansicht, dass nur positive Ergebnisse eine Veröffentlichung lohnen, dazu, dass viele negative Ergebnisse gar nicht bekannt gegeben werden und so die publizierten Ergebnisse überwiegend aus zufälligen positiven Ausreißern bestehen. Seit Jahrzehnten wird ein Umdenken gefordert. Im Artikel werden neue 'Belohnungssyteme' für Wissenschaftler gefordert, sodass nicht mehr die Zahl der (eben leider oft fragwürdigen) Publikationen karrierefördernd sein soll. Und durch Voranmeldung von Tests sollen Versuchsbedingungen und richtiger Testaufbau vorab geprüft werden können und auch negative Ergebnisse erfasst werden. Sollte beispielsweise eine korrekt durchgeführte Untersuchung zeigen, dass ein grüner Webseitenhintergrund bei mathematischen Themen keineswegs zur Beruhigung beiträgt oder das Wohlbefinden fördert, müssten nicht Jahr für Jahr Nachwuchsforscher immer wieder die Vermutung "grün beruhigt" überprüfen. Selbst bei richtigem Testaufbau würde trotzdem noch jeder zwanzigste (<= 5%) die Vermutung zufällig (aber irrtümlich) bestätigen und sein Ergebnis veröffentlichen, sodass ein interessierter Autor bei ausgedehnter Recherche auf mehrere solcher Bestätigungen stoßen würde - während die anderen den wahren Sachverhalt nicht veröffentlicht haben und so die Veröffentlichungen ein ganz falsches Bild ergeben ("Publikations-Bias").

Den vollständigen Spektrum-Artikel, aus dem ich zitiert habe, gibt es online nur kostenpflichtig (hier der Anfang); die wesentlichen Ideen sind aber schon in einem 14-minütigen Podcast vom Februar 2020 gratis zu hören. Das Thema ist nicht neu: 2005 hatte der Epidemiologe John Johannides mit seiner These aufgeschreckt, dass die meisten publizierten Forschungsergebnisse (der Medizin und verwandter Wissenschaften) falsch seien
[Nachtrag im Mai 2021: Bedauerlicherweise ist J. Johannidis in jüngster Zeit aber auch unrühmlich aufgetreten -- als Corona-Leugner und Verharmloser von in Wirklichkeit eindeutigen Statistiken. Das berichtet z.B. die FAZ].
Und die beiden deutschen Biophysiker Beck-Bornholt und Dubben versuchen seit 1998 mit drei sehr lesenswerten und gut verständlichen Taschenbüchern den richtigen Umgang mit der Stochastik anschaulich zu erläutern und Fallstricke aufzuzeigen.

Die Probleme des Publikations-Bias und falscher Testgläubigkeit war aber schon zu meiner Studienzeit in den 1970er Jahren unter Mathematik-Student(inn)en bekannt, die sich über die psychologischen Versuche im benachbarten Fachbereich lustig gemacht haben (obwohl sie sich gegen Bezahlung gerne als Probanden zur Verfügung gestellt haben). Dort wurden z.B. beim Test der Vermutung "Mozart-Musik nimmt die Angst vorm Zahnarzt" möglichst viele Eigenschaften der paar Probanden erfasst und mit Computerprogrammen (damals noch am Großrechner) so lange ausgewertet, bis selbst beim negativen Ergebnis für die ursprüngliche Vermutung irgendein zufälliger positiver Zusammenhang gefunden werden konnte, und sei es "Mozart-Musik hilft Menschen mit Schuhgröße 44, die gerne blaue Pullover tragen, gegen die Angst vorm Zahnarzt". Ließ sich partout nichts Signifikantes mit Mozart finden, reichte es vielleicht zu einem bemerkenswerten Zusammenhang zwischen der Vorliebe für blaue Pullover und der Schuhgröße (oder anderen 'signifikanten' Korrelationen zwischen vorsorglich erfassten Eigenschaften). Bei richtigem Testverständnis hätte die neue Vermutung jetzt in einem neuen Test an neuen Probanden und mit korrekter Null- bzw. Gegenhypothese getestet werden müssen. Tatsächlich konnte die Behauptung aber ohne Überprüfung abgegeben werden und wurde vom Professor oder der Professorin akzeptiert und honoriert. Studenten, die zutreffend behaupteten, man müsse vielleicht wo anders suchen, 'Mozart bringe es jedenfalls nicht', wurden hingegen aufgefordert, sich endlich anzustrengen und einen positiven Beitrag zur Wissenschaft zu leisten. Offenbar hat sich an diesem Unverstand trotz vieler Mahnungen noch nicht viel geändert. Vielleicht hilft der angesprochene Artikel - wahrscheinlich sind aber noch viele weitere stete Tropfen nötig, um den Stein zu höhlen bzw. den beschworenen Kulturwandel endlich herbei zu führen.

Zusatz im Januar 2022: Erst jetzt stieß ich auf einen weiteren (Online-)Artikel von Spektrum der Wissenschaft von 2019, der darüber berichtet, dass außerdem in amerikanischen Universitäts-Lehrbüchern die statistische Signifikanz oft falsch erklärt wird bzw. zumindest die Wahrscheinlichkeiten häufig falsch interpretiert werden. Eigene Erfahrungen mit deutschen Mathematik-Schulbüchern zeigten auch hier ähnlichen Verbesserungsbedarf. Details findet man auch in der nachfolgenden Buchbesprechung, wo - um Fehlschlüsse zu vermeiden -- vom p-Wert gesprochen bzw. geschrieben wird.

Und ebenfalls zum Thema passt die Buchrezension von "Statistics done wrong - Deutsche Ausgabe: Statistik richtig anwenden und Fehler vermeiden" weiter unten auf dieser Seite.




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Haus vom Nikolaus (Eckpunkt A bis E, Strecken a bis h)Kombinatorik & Graphentheorie
beim Haus vom Nikolaus

(ein Thema, dass nicht 100%-ig zur Stochastik passt, aber noch weniger zu meinen übrigen Großkapiteln.
Und Baumdiagramme sind in der Kombinatorik ja üblich - vgl. auch mein Programm WktBaum,
mit Beispiel auf Seite 3 der pdf-Datei stoch_s2.pdf, siehe oben auf dieser Seite bei 'Stochastik in der SII')



Selten habe ich mit meiner Intuition so daneben gelegen wie beim schon aus der Kindheit bekannten Haus vom Nikolaus. Am 6.12.2023 las ich auf einem Kalenderblatt, dass es angeblich 44 Lösungen (und wenn man die spiegelbildlichen Lösungen hinzu nimmt, sogar 88 verschiedene Möglichkeiten) geben soll, das Haus richtig in einem Zug zu zeichnen. Das würde bedeuten, dass es 88 (44) unterschiedliche Streckenzüge geben müsste, die die fünf Punkte ("Knoten") A, B,.., E entsprechend dem Muster verbinden, wobei in jedem Streckenzug jede Strecke ("Kante") a, b,.., h genau einmal vorkommt und der Stift nicht abgesetzt wird. Ich konnte das Haus gerade auf zwei verschiedene Arten zeichnen und glaubte an einen Fehler der Kalenderredaktion. Es war ja klar, dass die beiden unteren Ecken, nämlich die Knoten A und E, Anfangs- bzw. Endpunkt sein müssen, weil nur von diesen beiden Knoten eine ungerade Anzahl von Kanten abgeht (jeweils 3 -- also Start oder Ende mit einer Kante und ein zusätzliches Vorbeilaufen am Knoten mit einer ankommenden und abgehenden Kante). An allen anderen Knoten beginnt oder endet eine gerade Zahl von Kanten (4 bei B und D, 2 bei C), d.h., wenn man längs einer Kante zum Knoten kommt, kann/muss man längs einer anderen Kante den Knoten wieder verlassen. A und E lagen also außen fest, die übrigen drei Knotenpunkte B, C, D kann man nur auf 3! = 6 Arten dazwischen anordnen.
Aber halt, es geht ja nicht darum, jeden Knoten genau einmal zu betreten ("Hamilton-Weg"), sondern jede Kante muss genau einmal durchlaufen werden ("Euler-Weg"; weil Anfangs- und Endpunkt verschieden sind, hier kein "Euler-Kreis" wie beim "Königsberger Brückenproblem" erhofft). Grundsätzlich können die 8 Buchstaben a, b,.., h in 8! = 40 320 verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden; allerdings sind viel weniger Anordnungen (Permutationen ohne Wiederholung) auch gültige Streckenzüge. So kann beispielsweise die Kante c nie direkt vor oder nach a durchlaufen werden (weil a und c keinen gemeinsamen Knoten berühren), während b immer direkt vor oder direkt nach c im Streckenzug stehen muss. Die Geometrie der Zeichnung muss beachtet werden, was ganz viele theoretische Anordnungen ausschließt. Zum Glück darf jede Kante in beliebiger Richtung, aber eben nur einmal im Streckenzug, durchlaufen werden: Das Haus vom Nikolaus ist damit ein "bidirektionaler Graph".

Nach diesen Überlegungen schienen die 44 (88) Lösungen (zwischen den mindestes 2 oder 6 und deutlich weniger als höchstens 40 320) durchaus plausibel; eine kurze Internetrecherche bestätigte die Kalender-Angabe, etwa auf Wikipedia oder bei Alfred Fuchs.Allerdings befriedigten die fertigen Zeichnungen der 44 Streckenzüge auf den genannten Webseiten meine Neugier nicht ganz (die anderen 44 Lösungen erhält man durch Rückwärtsdurchlaufen der Streckenzüge, s.u.): Nach der anfänglichen Fehleinschätzung war mein Ehrgeiz geweckt, in einem Baumdiagramm alle Lösungen und vor allem auch alle Sackgassen zu finden. Dabei kann man den Baum insbesondere nach zwei verschiedenen Strategien zeichnen: Man beginnt mit A als Anfang ("Wurzel") und verfolgt einen Streckenzug komplett bis zum Ende E, d.h. zeichnet zunächst nur einen einzigen vollständigen Ast ("Pfad") des Baums -- etwa nur den Pfad zur Lösung 1 mit allen acht Kanten. Diese Methode wird in der Graphentheorie und auf meiner Seite Informatik mit Java, Teil g) Abstrakter Datentyp Graph als "Tiefensuche" bezeichnet (der Name wird verständlicher, wenn man den Baum nicht auf der Seite liegen lässt [mit dem Startknoten A als Wurzel am linken Rand], sondern um 90° nach rechts [im Uhrzeigersinn] dreht, sodass er kopfüber hängt und die Wurzel A oben ist. Dann geht der Pfad von der Wurzel zur Lösung in die Tiefe). Die andere Strategie besteht darin, an jedem Knoten nicht nur eine, sondern alle noch betretbaren Kanten zu den direkt erreichbaren Nachbarknoten zu zeichnen, und so den Baum von der Wurzel aus Schicht für Schicht aufzubauen (von jedem Knoten im hängenden Baum also in die Breite zu gehen), wobei man erst bei nahezu komplettem Baum in der letzten Schicht die erste, und dann sofort auch alle anderen Lösungen erhält. Das wäre die so genannte "Breitensuche". Für beide Strategien habe ich Algorithmen und Java-Programme (Applications) auf meiner Informatik-Seite g) vorgestellt, die dort allerdings nicht alle Lösungen produzieren, sondern nach Erreichen jeweils einer Lösung enden. Insofern müssten die Programme dort noch etwas angepasst werden.

Aber ich wollte ja nicht ein Programm oder einen KI-Bot mit dem Erstellen des Baums beauftragen, sondern hoffte, beim händischen Zeichnen und eigenen Überlegen an jedem Knoten bzw. an jeder Verzweigung im Baum ein besseres Gefühl für das anfangs so schlecht eingeschätzte Problem zu gewinnen. Das gelang tatsächlich, wenngleich das Erstellen des Baums ein ziemlich langwieriger, viel Fleiß und Gewissenhaftigkeit erfordernder Prozess war. Ich bin dabei mit einer Mischung aus Breiten- und Tiefensuche vorgegangen: Nach den ersten 2..3 Schichten habe ich einzelne Pfade (Streckenzüge) bis zum Ende verfolgt. Um nichts zu übersehen, habe ich bei jedem Knoten die noch möglichen, bisher nicht betretenen/benutzen Kanten in alphabetischer Reihenfolge abgearbeitet. Außerdem habe ich immer die beiden Kanten b und c mit dem dazwischenliegenden Knoten C (also das Dach des Hauses) als eine Einheit, d.h. praktisch wie eine Kante, behandelt und dadurch nur 7 Schichten gezeichnet. Insgesamt verblüffte mich, dass es nur erstaunlich wenige Sackgassen gab (zehn, mit S_1 bis S_10 bezeichnet), während die meisten Versuche problemlos direkt zu Lösungen führten. Ich hatte mit mehr Pfaden gerechnet, die vorzeitig enden.



Baum mit 44 Lösungspfaden und 10 Sackgassen für das Haus vom Nikolaus mit Startpunkt A

Hier wurden, wie bereits erwähnt, nur die Lösungen mit dem Anfangspunkt A gezeichnet. Der beispielhaft herausgegriffen Pfad zur Lösung 7, alsoLösungspfad 7 , führt zum linken gezeichneten Haus vom Nikolaus:

gezeichnetes Haus vom Nikolaus für Lsg 7 und Spiegelbild

Der gespiegelte Weg rechts beginnt bei E (Lösungspfad 23 rückwärts), und ist oben im Baum zu finden, wenn man den Pfad zur Lösung 23 rückwärts, d.h. von rechts (E) nach links (A) liest (Bei Alfred Fuchs wäre das übrigens seine Lösung 28, während Wikipedia diesen Weg als Lösung (38) kennt -- Stand März 2024). Auch die rückwärts gelesenen Sackgassen führen wieder zu Sackgassen, jetzt mit dem Anfangspunkt E und vorzeitigem Ende in A. In den Knoten mit einer geraden Anzahl von zu- oder abführenden Kanten kann keine Sackgasse enden.

Erstaunlich, welche Herausforderung und Einsichten sich aus dem einfachen Kinderproblem ergeben haben.

Bei so viel Nikolaus in Weihnachtsstimmung? Oben gibt's noch Hinweise auf einige mathematische Adventskalender!




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Analysis in Unterricht und Alltag

Außer in den nachfolgenden Abschnitten findet sich außerdem viel Analysis in der "Mathematik zu Corona" sowie natürlich in meinen Klausuren!



Einführung in die Integralrechnung
u.a. mit Fotovoltaik und Weinflasche

Im Leistungskurs 12 (jetzt Q1) hatte ich das (Riemannn-)Integral bzw. zunächst die Idee der Summenbildung für die Flächenbestimmung mit Daten unserer damaligen Fotovoltaik-Anlage eingeführt (vgl. meine "Fotovoltaik"-Hauptseite). Dann wurde in einem Rollenspiel zwischen Käufern und Verkäufern um die Größe einer krummlinig berandeten Wiese gefeilscht. Mit Excel-Arbeitsblättern wurde anschließend die Wiesenfläche durch Ober- und Untersummen hinreichend genau bestimmt. Näheres gibt's auf der

Extra-Seite: Integralrechnung/Flächenberechnung mit Fotovoltaik-Daten, einer Wiese und Excel



Und weil ich 2005 an einem MuPAD-Kurs teilgenommen hatte, habe ich die damals im Unterricht "normal" (also ohne das CAS-Programm) durchgeführte Bestimmung des Volumens einer Weinflasche zur meiner Übung mit dem Programm dokumentiert. Das erstellte Notebook wurde im Mai 2005 auf dem MuPAD-Server veröffentlicht. Nachdem MuPAD seit Oktober 2008 nicht mehr als eigenständiges Programm existiert, wurden allerdings auch die MuPAD-Webseiten eingestellt. Vorübergehend war -- bis Sommer 2009 -- auf private Initiative eines MuPAD-Mitarbeiters ein Großteil des Materials noch auf dem Bildungsserver der Zentrale für Unterrichtsmedien erreichbar. Jetzt gibt es offenbar keine zusammenhängende Sammlung der Materialien mehr. Natürlich können Sie meinen Beitrag hier in meinem Webangebot ansehen bzw. herunter laden. Die vielen dort eingearbeiteten Verweise auf andere MuPAD-Seiten gehen allerdings inzwischen ins Leere...

RotationskoerperWeinflasche.pdf (190 kB)
Rotationskoerper_Weinflasche.mnb (ca. 400 kB; Notebook für MuPAD 3.1)
bzw. Rotationskoerper_Weinflasche.mn (ca. 250 kB; für MuPAD 4)



Hinweise: Die Einführung in die Integralrechnung mit Fotovoltaik, Excel und der Wiese ebenso wie die Weinflasche wurden im Mai 2005 auch als MUED-Unterrichtseinheiten (AN-09-04 bzw. AN-10-05) aufgenommen und können von MUED-Mitgliedern unter http://www.mued.de im SII-Analysis-Bereich als pdf-Dateien eingesehen bzw. herunter geladen werden. Außerdem diente mir die Wiese als Testaufgabe bei der Besprechung der CAS-Programme Derive, MuPAD und GeoGebra auf meiner Seite "Rezensionen von Mathematik-Software, Teil c)" (s.o.).




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 Können Wirtschaftswissenschaftler und Banker keine Mathematik?

Beim Besuch einer Filiale der Deutschen Bank fiel mir auf der Rückseite des ‚Perspektiven'-Hefts 08-09/2018 ein Artikel ins Auge. Unter der Überschrift ‚Serie Finanzwissen: Konjunkturzyklus' wurden die klassischen vier Phasen wirtschaftlicher Entwicklung beschrieben und durch folgenden Graphen illustriert:

Scan des Konjunkturgraphen aus einem Werbeheft der Deutschen Bank

Ich stolperte über die Bezeichnung der markierten Punkte im Graphen, die in der Mathematik ja als Extrem- und keineswegs als Wendepunkte bekannt sind. Eine e-Mail-Nachfrage, ob die Wendepunkte nicht richtigerweise an den Übergängen zwischen den einzelnen Phasen zu finden wären, ergab, dass man bei der Redaktion durchaus die Analysis kennt: "Sie haben natürlich Recht, wenn Sie anmerken, dass in der Mathematik der Wendepunkt für den Punkt steht, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. In der Volkswirtschaftslehre wird der Begriff Wendepunkt im Zusammenhang mit der Darstellung der Konjunkturphasen - zumal bei vereinfachten Darstellungen - jedoch so verwendet, wie wir es in ‚Perspektiven' getan haben...". Zum Beleg wurde auf eine Reihe von Online-Publikationen mit gleichem Sprachgebrauch verwiesen, u.a. auf einen Artikel aus dem renommierten Gabler's Wirtschaftslexikon oder auf eine Veröffentlichung der Bundeszentrale für politische Bildung, die auf dem Wirtschafts-Duden beruht.

Offenbar geht die abweichende Bezeichnung auf den Österreicher/Deutschen/US-Amerikaner Joseph Alois Schumpeter (1883-1950) zurück. Er war eine schillernde Persönlichkeit, hat wohl erstmals in größerem Stil mathematische Formeln zur Beschreibung wirtschaftlicher Vorgänge verwendet und bahnbrechende Theorien über die wirtschaftliche Entwicklung aufgestellt - die auch heute nach der Bankenkrise wieder weltweit Beachtung finden. Im Gegensatz zum gleich alten Briten John Maynard Keynes (1883-1946) konnte er die Weltwirtschaftskrise um 1930 besser erklären. Seiner Meinung nach ist aber nicht primär Geldgier, sondern Kreativität und unternehmerische Innovation der Motor der Konjunktur: Neues (und oft, aber nicht immer Besseres) führt zur Verdrängung bzw. ‚Schöpferischen Zerstörung' des Alten. Wirtschaftliche Umbrüche und Krisen haben seiner Meinung nach eine nötige Reinigungswirkung. Der Kapitalismus führe allerdings zu zunehmender Ungleichverteilung und schaffe sich langfristig selbst ab. Von Schumpeter sind viele Bonmots überliefert (u.a.: "Eher legt ein Hund einen Wurstvorrat an, als dass eine demokratische Regierung Haushaltsrücklagen bildet"). Ob aber die Umbenennung von Extrem- zu Wendepunkten als bewusster Akt der schöpferischen Zerstörung überkommener Mathematik-Traditionen gedacht (oder einfach ein Versehen) war, ist nicht bekannt. In der Schule - laut Wikipedia legte er das Abitur bzw. die Matura am Theresianum in Wien ab - soll Schumpeter jedenfalls sehr gut gewesen sein.
Und ehrlicherweise ist die nun seit fast 90 Jahren übliche Begriffsverwendung durch die Nationalökonomen fast naheliegender als der unglückliche mathematische Sprachgebrauch von "Wendepunkt". Denn die Verwendung des Begriffs in der Mathematik hat ja mit Wenden (im alltäglichen Sinne von Umkehren) wenig zu tun und weckt eher irreführende Assoziationen - wie jede Mathe-Lehrerin und jeder Mathe-Lehrer weiß, der den Begriff jedes Jahr unvoreingenommenen Schülerinnen und Schülern der Einführungsphase nahebringen muss. "Krümmungswechselpunkt" wäre sicher die bessere, verständlichere mathematische Bezeichnung.

Bleibt noch die Frage, ob die Konjunkturfunktion als eigenständige Funktion eher uninteressant ist, aber als Ableitungsfunktion zur Beschreibung der zeitlichen Änderung einer wichtigeren Größe mehr Sinn macht. Denn die Extremstellen der Konjunkturfunktion wären die (mathematischen) Wendestellen ihrer Stammfunktionen. Allerdings hat das Integral ‚Konjunktur mal Zeit' offenbar keine wirtschaftlich sinnvolle Bedeutung, der Konjunkturverlauf selbst hingegen schon, sodass hier kein Grund für die Begriffsveränderung gefunden wird.




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Entspricht ein Hundejahr sieben Menschenjahren?



Symbolbild eines HundesAnfang Juli 2020 konnte man vielerorts lesen (online u.a. bei n-tv oder web.de), dass die altbekannte Faust- bzw. Pfoten-Regel "1 Hundejahr = 7 Menschenjahre" ausgedient habe. Zweifel waren bisher schon angebracht, weil Hunde meist schon nach einem Dreivierteljahr geschlechtsreif werden -- was nur 5,25 Menschenjahren entspricht. Kalifornische Biologen haben nun durch Vergleich der Methylierung der Erbsubstanz in den Zellen festgestellt, dass dieser Alterungsprozess bei Hunden und bei Menschen unterschiedlich schnell abläuft und nicht linear (d.h. direkt proportional) korreliert ist. Die Zell-DNA der etwas über 100 untersuchten Labrador-Hunde verändert sich anfangs viel schneller und später relativ langsamer als beim Menschen. Angeblich würde der Zusammenhang durch die neue Formel

vergleichbare Menschenjahre = 16 * ln (Hundejahre) + 31

viel zutreffender ausgedrückt. Dabei ist ln der natürliche Logarithmus, d.h. der Logarithmus zur Basis e (e = Eulerzahl, ungefähr 2,718..). Spätestens wenn man den Graph zeichnet, erscheint die Formel für junge Hunde allerdings wenig plausibel:

Graph der neuen Hundeformel

Denn danach würden Hunde nicht mit null geboren, sondern mit einem beliebig negativen Menschenalter starten! Denn der ln ist für 0 gar nicht definiert und hat für kleine positive Argumente stark negative Werte, d.h. geht bei 'Hundejahre gegen null' gegen Minus-Unendlich. Erst bei einem Hundealter von etwa 52 Tagen wird das vergleichbare Menschenalter erstmals positiv. Die Arbeitsgruppe von Wang, Ma, Hogan,... u.a. am Lehrstuhl von T. Ideker an der Universität von San Diego zeigt in der Online-Veröffentlichung (die Ende August 2020 offenbar unverändert gedruckt wurde) den gleichen Graphen (Bild 3D auf der mit "4" nummerierten fünften Seite der pdf-Datei), ignoriert aber das Problem, obwohl auch dort der Graph erkennbar nicht durch den Ursprung geht. Es werden weder konkrete Wertepaare genannt -- sondern nur eine Fläche gefärbt (Bild 3A) bzw. Punktwolken für nur fünf (am besten passende?) Hunde gezeichnet (Bilder 3B und 3C). Es wird auch nie erwähnt, warum überhaupt eine logarithmische Regression gewählt wurde. Man erfährt lediglich, dass die Formel eine Art Kompromiss zwischen "Menschenjahre = 17 * ln (Hundejahre)+33" und "Menschenjahre = 16 * ln (Hundejahre)+30" sein soll. Diese beiden Formeln weisen schon das gleiche Problem mit der Null auf und wurden ebenfalls nie begründet.

Wahrscheinlich wurde zur Ermittlung der Formeln ein Mathematik-Programm wie z.B. MatheAss (abgebildet ist hier noch die Version 8.1) benutzt, das verschiedene Regressionen anbietet. Weil die Graphen der meisten anderen Funktionstypen nicht oder in die falsche Richtung gekrümmt wären und daher viel ungeeigneter waren, blieb offenbar die logarithmische Variante übrig. Und weil dann der grobe Verlauf ab dem 2. (Hunde-) Monat in etwa passte, haben sich die Biologinnen und Biologen anscheinend keine weiteren Gedanken zur Gültigkeit der Formel oder zu mathematischen Implikationen gemacht und keine (vermutlich auch in ihrem Programm mögliche und nötige) geringfügige Verschiebung probiert, mit der das Problem hätte verborgen werden können, wenn z.B. "Menschenjahre = 16 * ln (Hundejahre + 0,144) + 31" gefunden worden wäre. Allerdings ist nicht einsichtig, wieso überhaupt ein logarithmischer Zusammenhang bestehen soll. Denn anders als in der Physiologie, wo die subjektive Reizwahrnehmung ungefähr logarithmisch mit der objektiven Reizintensität zunimmt (was zum Weber/Fechner-Gesetz führte), gibt es hier keinerlei Kausalkette. Es wäre besser gewesen, die Zusammenhänge in einer empirischen Tafel (ähnlich den Diagrammen von Babynahrungsherstellern für typische Größen und Gewichte von Säuglingen) mit breitem Streubereich darzustellen. Wenn zur Bequemlichkeit doch eine Formel gefunden werden soll, hätte meiner Meinung nach eher eine liegende Parabel ausprobiert werden sollen, also eine Potenzfunktion der Form "Menschenalter = A * Hundelalter B ", wobei der Exponent B zwischen 0 und 1 liegen müsste (in MatheAss als 'Geometrische Regression' zu finden). Solche Funktionen gehen immer durch den Ursprung (weswegen MatheAss ärgerlicherweise den redundanten Messpunkt (0|0) als unzulässig zurückweist). Aber ohne die Messwerte der Hundestudie können weder A noch B berechnet werden, noch kann beurteilt werden, ob nicht ein mal links-, mal rechtsgekrümmter Spline besser passen würde. Schade.

Die von Wang u.a. genannte Formel kann jedenfalls nicht ohne Weiteres akzeptiert werden. Möglicherweise haben sich die Forscher bei der für sie vielleicht eher fremden Mathematik unhinterfragt auf die scheinbare Autorität eines Programms verlassen, auch wenn sie die Software eventuell nicht vollständig bedienen wollten oder konnten bzw. das übernommene Ergebnis nicht geprüft oder verstanden haben. Ähnliches findet man leider immer wieder selbst bei Wissenschaftlern, die in ihrem eigentlichen Fachgebiet durchaus hervorragende Leistungen erbringen. Jedenfalls können Skepsis und Plausibilitätsprüfungen nie schaden, bevor man sich auf gefundene Formeln verlässt. Von Medien, die über die Studie berichten, ist jedenfalls keine eigene Kontrolle zu erwarten -- weder von den beiden eingangs genannten deutschen Quellen, noch von den auf die Ankündigung wissenschaftlicher Neuerscheinungen spezialisierten Fachportalen, wie etwa den englischsprachigen Webseiten EurekAlert! oder genengnews. Hoffentlich sind die Zelluntersuchungen verständiger durchgeführt worden und die herangezogene DNA-Metylierung kann als verlässlicher Indikator für den gesamten Alterungsprozess gelten. Auf meine eMail mit den Bedenken zu seiner Formel hat Herr Wang leider nicht reagiert.

P.S.: Die neue Version 9.0 von MatheAss hat in und wegen der Coronakrise noch einen weiteren Regressionstyp spendiert bekommen: Mit der logistischen Regression kann man jetzt auch Ähnliches wie den dunkelgrünen Graph auf meiner Corona-Seite bei den  4 Wachstumsmodellen als Ausgleichkurve durch Wertepaare ermitteln lassen.



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Zahlentheorie



Viel Zahlentheorie und Primzahl-Anwendungen stecken übrigens in modernen kryptografischen Verfahren, die auf meiner Informatikseite k): "Kryptologie II" ausführlich dargestellt sind!





Größte bekannte Primzahl

Auch im Februar 2024 gilt noch (vgl. mersenne.org): Die größte bekannte Primzahl ist immer noch die von Patrick Laroche aus Florida am 7.12.2018 entdeckte einundfünfzigste Mersenne-Primzahl: 2 82 589 933 - 1. Diese Zahl ist mit fast 25 Millionen Stellen (die ausgedruckt über 1000 km lang wären) die größte bisher gefundene Primzahl der Welt. Schon mit der Länge der 45. Primzahl war 2008 erstmals die 10-Mio-Dezimalstellen-Grenze überschritten und damit der von der Electronic Frontier Foundation zum Jahr 2000 ausgelobte Preis von 100 000 US-$ gewonnen worden (den die Organisatoren des GIMPS-Projekts 2009 allerdings unter mehreren Teilnehmern aufgeteilt haben - es ist ja eher Zufall, wer welche Zahl zum Prüfen kriegt; s.u.).

Die preisgekrönte 45. Mersenne-Primzahl wurde 2008 übrigens in Langenfeld im Rheinland (zwischen Köln und Düsseldorf) entdeckt. Diese inzwischen nur noch siebtgrößte bekannte Primzahl kann als 2 37 156 667 - 1 angegeben werden und hat, rechnet man die Potenz (und Differenz) wirklich aus, 11 182 272 Dezimalstellen!

Die im September 2006 entdeckte 44. Mersenne-Primzahl 232.582.657 - 1 hatte noch nur 9,8 Millionen Stellen und war -- wie schon die 43. Mersenne-Primzahl -- vom Team unter Curtis Cooper an der Central Missouri State University gefunden worden (wo dann 2016 auch die 49. Mersenne-Zahl gefunden wurde). Dort werden mehr als 700 Uni-PCs nach Feierabend genutzt. Alle hier genannten Primzahlen wurden nämlich im Rahmen des GIMPS-Projektes dadurch erkannt, dass viele PC-Besitzer(innen) ihre(n) Computer zu Hause (oder in der Uni bzw. am Arbeitsplatz), wenn sie ihn/sie nicht selber brauchen, in den Dienst der Primzahlprüfung stellen. So wurde z.B. die 42. Mersenne-Primzahl im Sommer 2005 zufällig nach nur 5 Tagen Rechenarbeit von den 24 Rechnern in einem deutschen Augenzentrum aufgespürt. Davor hatte ein kanadischer Schüler nach 45 Tagen Rechenzeit auf seinem Home-Computer vorübergehend den Rekord mit der bis dahin größten bekannten Primzahl inne.

Tatsächlich dauert der Test, ob eine um eins verminderte Zweierpotenz mit großer Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist, bei heute üblicher Hardware meist nur noch einige Tage bis wenige Wochen. Ist auf Rechnern mit unterschiedlicher Hardware und mit zwei verschiedenen Programmen eine Zahl als vermutliche Primzahl erkannt, wird sie bekannt gegeben. Der endgültige, exakte Test dauert dann aber noch mehrere Jahre. So konnte erst im Oktober 2021 die 48. Mersenne-Primzahl endgültig als sicher bestätigt werden; die neueren Zahlen sind noch nicht völlig sichere Primzahlen.

Selbst wenn man jetzt weiß bzw. mit hoher Wahrscheinlichkeit annimmt, dass 2 82 589 933 - 1 oder die Anfang 2018 entdeckte 50. Mersenne-Zahl 2 77 232 917 - 1 Primzahlen sind, kann man solche Zahlen nicht mehr auf dem Taschenrechner anzeigen lassen - auch nicht in wissenschaftlicher Darstellung (Der Taschenrechner zeigt die ersten zehn oder zwölf Stellen von maximal 100-stelligen Zahlen [rund 0,000 004 % der für die 51. Mersenne-Zahl benötigten Größe]; längere Zahlen führen zum "Error"). Aber auf dem PC gelingt es in einigen Tagen bis Wochen, alle fast fünfundzwanzig Millionen Stellen aus der gegebenen Potenz zu berechnen. Bisher konnte jeder selbst dazu das kleine kostenlose WinCalc von Rick Parris benutzen. Leider ist seit März 2020 WinCalc bzw. das gesamte Peanut-Mathe-Softwarepaket nicht mehr auf den Seiten der Philips Exeter Academy in New Hampshire/USA zu finden, wo R. Parris früher unterrichtet hat. Einzelne Programme findet man gelegentlich auf Shareware-/Freeware-Seiten; Alternativen für das gesamte Peanut-Paket nenne ich unten auf dieser Seite bei den Verweisen (s.u., vorletzter Link; dort auch zusätzliche Oberfläche).

Im 17. Jahrhundert war dem Mönch und Mathematiker Mersenne aufgefallen, dass einige Primzahlen eine Darstellung der Form 2n - 1 haben, z.B. 3 = 22 - 1 oder 7 = 23 - 1. Allerdings können keineswegs alle Primzahlen nach dieser Formel berechnet werden: 5, 11 oder 13 sind zum Beispiel Primzahlen, ohne Mersenne-Primzahlen zu sein. Andererseits sind viele Zweierpotenzen minus eins auch keine Primzahlen, wie etwa 24 - 1 = 15 = 3 • 5. Tatsächlich sind im Bereich der größeren Zahlen die Mersenne-Zahlen sogar sehr selten. Deshalb muss viel probiert werden - eben auf vielen Computeren im GIMPS-Projekt - bis wieder eine Mersenne-Zahl entdeckt wird. Und auch unterhalb der jetzt bekannten größten Primzahl gibt noch ganz viele unbekannte Primzahlen, die eben nicht als Mersenne-Zahlen darstellbar sind und noch auf ihre Entdeckung warten! [Mehr über Mersenne-Primzahlen gibt's z.B. auf den Seiten http://www.achimpassauer.privat.t-online.de/homepage.htm oder auch bei Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl].

Beim GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search, inzwischen auf www.mersenne.org) probiert man einfach nacheinander für alle natürlichen Zahlen n aus, welche Ergebnisse nach der Formel 2 n - 1 tatsächlich Primzahlen sind. Die allermeisten sind keine Primzahlen, aber die Zahlen, die der kanadische Schüler, der deutsche Augenarzt, das Central-Missouri-Team, der Langenfelder H. Elvenich, zuletzt Jonathan Pace oder jetzt Patrick Laroche überprüft haben, waren Primzahlen. Viele, viele andere Teilnehmer am GIMPS-Projekt hatten hingegen Pech: die von ihnen überprüften Zahlen erwiesen sich nach langem Rechnen doch als teilbar. Dank eines verbesserten Algorithmus geht die Berechnung inzwischen übrigens rascher!

Einen wirklich praktischen Nutzen haben Primzahlen dieser Größe allerdings (noch?) nicht: für die Kryptologie sind sie zu groß (die dort verwendeten 'großen' Primzahlen haben 20 bis maximal 100 Dezimalstellen und sind besser keine der ja relativ leicht auffindbaren Mersenne-Zahlen). Die GIMPS-Rechnungen dienen also eher dem Spaß, der Freude bei der Teilnahme/Teilhabe an etwas Großem, der Rekordjagd, der Suche nach und dem Test von immer schnelleren Primzahl-Erkennungs-Programmen und letztlich auch dem Hardware-Stress: 2016 hat u.a. eine deutsche Gruppe während ihrer Berechnungen wieder einen Fehler im Prozessor gefunden. Und vielleicht lockt auch das Geld. Zwar wurde der Preis aus ihrem Millenium-Aufruf schon 2009 für die 45. Mersenne-Zahl gezahlt, aber für die erste Primzahl mit mindestens 100 Millionen Stellen (statt jetzt 25 Millionen) will die Electronic Frontier Foundation nochmal 150 000 US-Dollar ausgeben.

Einen Überblick über weitere Projekte geballten Home-Computereinsatzes im Internet gibt z.B.

http://www.rechenkraft.de ;

spektakulär ist auch die im September 2019 erreichte Lösung zur Antwort 42 mit rund 500 000 Computern (s.u.).

Übrigens: Bei dem wohl bekanntesten Projekt mit verteilter Rechenleistung haben 20 Jahre lang zeitweilig über drei Millionen PCs in aller Welt daran gearbeitet, jeweils kleine Stücke der von Radioteleskopen aus dem Weltraum aufgenommenen Daten nach intelligent wirkenden Mustern zu durchforsten, um so nach Signalen außerirdischer Lebewesen zu suchen: Das (inzwischen ausgesetzte bzw. "im Winterschlaf" befindliche) Seti@home-Projekt hatte damit zeitweise mehr als die doppelte Rechenkapazität des damals leistungsfähigsten und schnellsten Supercomputers der Welt, "BlueGene/L", wie die Physikalisch-Technische Bundesanstalt in ihrer Zeitschrift "Maßstäbe" im Heft 6 vom September/Oktober 2005 auf der Seite mit der Nummer 46 (=Seite 48 des pdf-Dokuments) gemeldet hatte. Im März 2020 werden allerdings die letzten Schnipsel der empfangenen Daten an die zuletzt noch 1,8 Millionen Teilnehmer verschickt, wie heise.de meldet. Gefunden wurden in den 20 Jahren trotz aller Mühen aber keinerlei Anzeichen dafür, dass es Aliens gibt oder sie mit uns in Kontakt treten wollen. Aber nicht das Ausbleiben fremder Signale führte zum Ende des Projekts: neue Detektoren in den Radioteleskopen liefern inzwischen offenbar so schnell und so viele Daten, dass sie vor Ort vorsortiert und vorgeprüft werden müssen und belangloses Material direkt verworfen wird, statt gespeichert und versendet werden kann.

Inzwischen haben aber viele Firmen die Möglichkeiten des verteilten Rechnens entdeckt; angeblich nutzen vor allem Pharmaunternehmen ihre Bürocomputer auch schon zur rechenintensiven Simulation von Molekülstrukturen. Und das europäische (Kern-)Forschungszentrum CERN, das schon mit der Erfindung der Hyperlinks und der Entwicklung des WWW (world wide web) 1993 dem Internet zum Durchbruch verholfen hat, nimmt sich inzwischen des verteilten Rechnens im Internet an und versucht, allgemeine Regeln und Verfahren für das Grid-Computing zu entwickeln, u.a. um die hohe für die Teilchenphysik benötigte Rechenleistung auf viele Geräte zu verteilen. Grundsätzliche Informationen gibt's beim Worldwide LHC Computing Grid des CERN oderauf der BOINC-Übersichtsseite (BOINC = Berkeley Open Infrastructure for Network Computing im Auftrag von Science United. Den BOINC-Software-Client kann übrigens auch von der Seite der Computerzeitschrift Chip herunter geladen werden, damit man die ungenutzte Rechenleistung seines PC für gerade aktuelle wissenschaftliche Projekte zur Verfügung stellen kann.

Und verteilte Rechenkraft konnte auch genutzt werden, um die Entwicklung von Medikamenten und Impfstoffen - wie zuletzt z.B. gegen das Coronavirus - zu beschleunigen, wie zuerst Jörg Schieb berichtet: Insbesondere Computer-Spieler waren aufgerufen, ihre leistungsfähigen Rechner dem Projekt folding@home zur Verfügung zu stellen, das sich schon vor Covid und jetzt auch weiterhin der Analyse aktueller Krankheitserreger bzw. dem "virtuellen Ausprobieren" von neuen Impfstoffen verschrieben hat.




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Schnelle Primzahlprüfung

Den Informatikern Agarwal, Kayal und Saxena war Ende 2002 in Indien ein Durchbruch in der Primzahl-Prüfung gelungen.

Um festzustellen, ob eine Zahl Primzahl ist oder nicht, musste früher mit allen kleineren Zahlen ausprobiert werden, ob sie die vermutete Primzahl teilen. Zwar konnten einige Zahlen weg gelassen werden: Will man wissen, ob z.B. 1001 eine Primzahl ist, ist der größte Teiler, den man probieren muss, die Wurzel aus 1001 bzw. die nächstkleinere ganze Zahl (hier 31) (weil Wurzel(p) mal Wurzel(p) die Primzahl p ergibt. Ein größerer Faktor auf der einen Seite hätte einen kleineren Faktor auf der anderen Seite zur Folge, so dass die Kombination schon beim kleinen Faktor gefunden würde). Mit anderen Worten, man müsste die Divisionen 1001 : 2, 1001 : 3, 1001 : 4, 1001 : 5, .. , 1001 : 31 durchführen und jedesmal prüfen, ob sie restlos aufgehen. Nur wenn keine Division mit ganzem Ergebnis gelingt, ist die 1001 eine Primzahl. Zwar können noch einige mögliche Teiler weg gelassen werden (wenn 1001 nicht durch 2 teilbar ist, braucht man 4, 6, 8.. oder andere Teiler aus der Zweierreihe nicht mehr probieren - Gleiches gilt natürlich für alle anderen Reihen! Außerdem können gerade Zahlen > 2 nie prim sein, sodass man sich die Überprüfung mit 2 und ihren Vielfachen sowieso schenken kann). Dies fiel schon vor rund 2300 Jahren dem Griechen Eratosthenes auf ("Sieb des Eratosthenes"). Bleiben auf diese Weise nur 10 % der kleineren Zahlen als mögliche Teiler übrig, so müssen hier nur 3 Divisionen durchgeführt werden, um festzustellen, ob 1001 prim ist (es sei denn, man hat schon vorher einen echten Teiler gefunden und weiß deshalb, dass 1001 keine Primzahl ist).

3 Rechenoperationen gehen bei einem Computer natürlich blitzschnell. Um herauszufinden, ob die etwa zehn Mal so große Zahl 10 001 eine Primzahl ist, wären dann 10% von Wurzel(10 001), also etwa 10 Operationen nötig. Für jede zusätzliche Stelle der Primzahl verdreifacht sich ungefähr die Anzahl der Divisionen. Um die neun- bzw. zehnstellige Zahl 1 000 000 001 = 10 9 + 1 auf ihre Primzahleigenschaft zu prüfen, wären dann 31 621 Divisionen nötig - mit einem Computer in wenigen Sekunden machbar.

Und für eine vermutete Primzahl mit 4 Millionen Dezimalstellen wären nach diesem Verfahren nicht etwa 400 000 (= 10 % von 4 Millionen) Divisionen, sondern 0,1 • 10 2 000 000 (= 10 % von Wurzel(10 4 000 000)) Divisionen nötig. Selbst ein schneller Computer, der pro Sekunde 10 000 Divisionen durchführen kann, wäre damit 0,1 • 10 2 000 000 Sekunden = 2,7 • 10 1 999 995 Stunden = 3,2 • 10 1 999 991 Jahre beschäftigt. Ziemlich lange, wenn man bedenkt, dass unser Weltall bisher nur etwa 13,7 Milliarden Jahre = 1,37 • 10 10 Jahre alt ist. Auch die Vertausendfachung der Rechenleistung bringt hier keinen spürbaren Gewinn (dann wären es "nur" noch 3,2 • 10 1 999 989 Jahre!). Außerdem ist hat die inzwischen größte Primzahl nicht 4, sondern fast 25 Millionen Stellen.

Jedes Rechenverfahren, dessen Aufwand mit dem Wert der untersuchten (Prim-)Zahl ansteigt (das also mit dem Exponenten oben an der 10 wächst, weswegen man von exponentiellem Aufwand spricht), ist für große Zahlen nicht mehr in annehmbarer Zeit durchführbar. Für eine Reihe von Problemen (u.a. der Suche nach einem optimalen Stundenplan) sind bisher nur Verfahren mit exponentiellem Aufwand bekannt (weswegen sich praktische Verfahren mit einem nicht optimalen Stundenplan begnügen müssen). Auch das verbreitete RSA-Verschlüsselungsverfahren macht sich zu Nutze, dass eine Entschlüsselung nach der durchaus bekannten Methode wahrscheinlich so viele Jahre bzw. Jahrzehnte dauern würde, dass bis dahin jede Nachricht ihren Wert verloren hat.

Erst seit etwa 1985 gibt es schnellere Verfahren für die Prüfung auf die Primzahl-Eigenschaft, die aber zum Teil stochastische Methoden benutzen und nicht immer zuverlässige, exakte Aussagen liefern.

Deshalb ist es von entscheidendem Vorteil, wenn Agarwal, Saxena und Kayal 2002 ein Verfahren gefunden haben, das nicht mehr exponentiell, sondern nur noch in Polynomzeit vom Wert der zu untersuchenden Primzahl abhängt. Nach diesem Verfahren ist der Aufwand nicht mehr exponentiell durch (0,1 • ) 10 Stellenzahl der Primzahl / 2 , sondern nur noch durch Stellenzahl 7,5 beschränkt, d.h. für eine Primzahl mit 4 Millionen Stellen wären "nur" etwa 4 000 000 7,5 = 3,3 • 10 49 Rechenoperationen nötig - viel viel weniger als 0,1 • 10 2 000 000 Operationen, aber immer noch eine riesige, kaum zu bewältigende Zahl: der besagte Computer würde immer noch rund 10 38 Jahre ( = 10 28 mal das Alter unseres Universums) brauchen. Soweit die wenig ermutigende Komplexitätstheorie.

Allerdings gibt es für Primzahlen spezieller Bauform (wie für die oben erwähnten Mersenne-Zahlen oder für Fermat-Primzahlen) unter Ausnutzung ihrer besonderen Gestalt deutlich schnellere Verfahren - sonst wären auch mit verteilter Rechenkraft nicht so viele Mersenne-Primzahlen zu finden gewesen wie im vorstehenden Abschnitt beschrieben. Mersenne-Primzahlen können etwa mit dem Lucas/Lehmer-Test rasch (d.h. binnen Tagen oder Wochen statt in Jahrmilliarden) geprüft werden (https://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl) und für die Fermat'schen Primzahlen nannte Wikipedia früher die schnellen Tests nach Pepin oder Suyama, auf die im/seit Sommer 2014 allerdings nicht mehr verwiesen wird (https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl).




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 Endlich Frage zur universellen Antwort 42 gefunden?

Foto: 4 Bücher von D. AdamsIn seiner 1979 mit dem Buch "Per Anhalter durch die Galaxis" begonnenen Sciene-Fiction-Reihe berichtet der Autor Douglas Adams (GB 1952 - USA 2001), dass ein Computer namens "Deep Thought" nach 7,5 Millionen Jahren Rechenzeit endlich die Antwort auf alle Fragen der Welt gefunden habe - nämlich die Zahl 42. Leider war über die lange Zeit die genaue Frage vergessen worden (bzw. war die Aufgabe wohl nie präzise gestellt worden), so dass man herzlich wenig mit der Antwort anfangen konnte. Zur Ermittlung der passenden Frage musste erst ein neuer, noch größerer Computer gebaut werden, der u.a. die gesamte Erde enthielt - die allerdings wegen einer intergalaktischen Umgehungsstraße gesprengt wird, kurz bevor der neue Computer mit seinen Berechnungen fertig war. Die Lösung wird daher nie gefunden und es bleibt Raum für Spekulationen um die Bedeutung der 42. Douglas Adams selbst hat nach eigenem Bekunden die Zahl zufällig ausgewählt und hatte keinen bestimmten Hintergedanken, auch wenn seither viele Theorien aufgestellt wurden (s.u., Verweise am Ende dieses Artikels).

Mitte September 2019 ist es nun gelungen, mit verteilter Rechenkraft (s.o.) endlich für die letzte natürliche Zahl z unter 100 die diophantische Gleichung

 (*) a 3 + b 3 + c 3 = z 

zu lösen, d.h. letztlich durch Ausprobieren die ganzen Zahlen a, b und c zu finden, deren Kubiksumme z ergibt. Angeblich hat sich der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria um 250 n.Chr. erstmals mit der Summe dreier Kubikzahlen beschäftigt (heute bezeichnet man allgemeiner alle Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und Lösungen als diophantisch). Während die Lösung von (*) für z = 47 mit betragsmäßig kleinen Zahlen gelingt - nämlich z.B. a = 6, b = -8 und c = 7, weil  6 3 + (-8) 3 + 7 3 = 47 ist -, sind die Lösungen für andere Zahlen z oft weitaus größer und viel schwerer zu finden. Für manche z, nämlich wenn z : 9 den Rest 4 oder 5 ergibt, ist eine Lösungen gänzlich unmöglich, wie inzwischen bewiesen wurde. Anfang 2019 blieben von den Zahlen z unter 100, die nicht das Ausschlusskriterium z % 9 = 4 oder z % 9 = 5 erfüllten (wobei % die Java-Schreibweise für mod[ulo] ist), nur noch die Zahlen 33 und 42 ohne gefundene Gleichung. Nachdem im April 2019 mit drei 16-stelligen Zahlen eine Lösung für z = 33 ermittelt werden konnte, blieb ausgerechnet die Zahl 42 übrig. Die Antwort z = 42 war sozusagen bekannt, die Frage bzw. das a, b und c der linken Gleichungsseite musste aber noch gefunden werden. Ähnlich wie bei Adams gelang das mit weltumspannender Computerhilfe! Durch den Einsatz von rund einer halben Million Computern wurde im September 2019 dieses letzte Rätsel (für z unter 100) mit drei 17-stelligen Zahlen gelöst: a = -80 538 738 812 075 974, b = 80 435 758 145 817 515 und c = 12 602 123 297 335 631 erfüllen zusammen mit z = 42 die Gleichung (*). Jetzt geht die Suche weiter für z bis 1000. Momentan ist z = 114 die kleinste Zahl mit bisher unbekannter Lösung (a, b, c).

Zwar ist nun für z = 42 die diophantische Gleichung (*) gelöst; die "Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest" (Douglas Adams) bleibt hingegen offen. Der Sinn des Lebens und "von allem" ist wohl kaum eine einfache Gleichung mit drei dritten Potenzen. Ob es bei der universellen Sinnfrage hilfreich ist, dass die Antwort 42 dank Deep Thought ja schon bekannt sein soll?

Wer im Netz weiter suchen will (obwohl dort besser nicht der Lebenssinn gesucht werden sollte), findet u.a.: einen Bericht über die Lösung für z=33 bei scinexx, Berichte über die Lösung für z=42 auf Spiegel online, bei Zeit online oder im kurzen Video im web.de-Magazin sowie Allgemeines über die "Antwort 42" von D. Adams z.B. auf Wikipedia oder im 10-min-Film auf Youtube (mit vielen angeblichen und echten Eigenschaften der 42). Theoretische Informatikerinnen und Informatiker wissen allerdings längst, dass Sinnfragen von Computern prinzipiell nicht beantwortet werden können - also auch nicht von Deep Thought oder einem noch so großen Nachfolger (Nicht mal alle innermathematische Sachverhalte können berechnet werden, wie z.B. im Artikel Grenzen der Berechenbarkeit auf Schulniveau erklärt wird).




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Rezensionen von Mathe-Software und -Büchern



Rezensionen von Mathematik-Software

Im Laufe der Zeit habe ich einige Mathematik-Programme ausprobiert. Hier meine Meinung zu einigen (älteren) Angeboten:

a) numerische Programme: Rechen- und Zeichenhilfen
  • MatheAss 8.0 (B. Schultheiß; für Win)
  • MathProf 2.0 (Riescher; für Win ab 9x)
  • WinFunktion Mathematik plus XII /2002 (St. Polster; bhv)
  • Appomatox 3.4.2.0 (F. Schnitzer; für Win ab 9x)

b1) interaktive Programme: Lern- und Übungs- bzw. Nachhilfeprogramme für die Sekundarstufe I (Klassen 5 - 10)

  • Schülerhilfe - 7. Mathe (= Freddy der Fuchs - Mathematik 7), Aldi Juli/August 2004
  • GRIPS! 5. Mathe - Textaufgaben
  • Lernpaket Mathematik, Klasse 5 und 6 (= Martins Lernwerkstatt Mathematik 5&6)
  • Multimedia Lernkurs Mathematik Klasse 5-7 (= CD 1 von Lernsoftware Mathematik - Einfach und effektiv - Klassen 5-10)
  • Schülerhilfe Mathe Klasse 7|8
  • Aufgabensammlung Geometrie Klasse 8-10

b2) interaktive Programme: Lern- und Übungs- bzw. Nachhilfeprogramme für die Sekundarstufe II (Klassen (10,) 11 - 13)

  • Mathematik-Baukasten (Franzis)
  • Mathematik interaktiv / Telekolleg II: Analysis - Differentialrechnung (TR Verlagsunion / Rossipaul)
  • Differential- und Integralrechnung V 1.1 (Franzis Multimedia-Mathematik)
  • Extremwerte (Hemming Leicht gelernt)
  • Mathe Tutor Oberstufe 1 (Maaß/Stöckl; Koch Media)
  • Mathe Tutor Oberstufe 2.0 (Maaß/Stöckl; Koch Media)

c) Computer-Algebra-Systeme (CAS): genaues und symbolisches Rechnen, Termumformungen und Zeichnen

  • Die Aufgabe
  • Lösung mit Derive 5 / 6
  • Lösung mit MuPAD Pro 3.1
  • Lösung mit GeoGebra 2.5.1
  • Weitere Software und Hinweise

d) Dynamische Geometrie-Software (DGS). geometrisches Konstruieren, Abbilden, Bewegen und Messen

  • Die vier Aufgaben (Thaleskreis, Strahlensatz, Kreistangente, Parabelform der Kölnarena)
  • Euklid-DynaGeo 2.6e
  • GeoGebra 2.5.1
  • Zirkel und Lineal 3.71
  • Publizieren im Internet bzw. im Schulnetz
  • Bezugsquellen und Preise

e) Software zur Linearen Algebra und zur Vektorgeometrie

  • MuPAD und Derive
  • MatheAss, WinFunktion Mathematik und MathProf
  • Geo(.exe), Vektor / GeoSekII und AG-Analytische Geometrie

Übrigens: Von mir erstellte Software zur Mathematik (wie den Gleichungssystem-Löser LGS_2, der auch umgekehrte Kurvendiskussion beherrscht, oder das Programm WktBaum für die Stochastik in SI und SII) finden Sie auf meiner "Software"-Seite !


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Eine Buchbesprechung...

Titelbild - Abiturwissen Superbuch Mathe & Physik (Ausgabe mit DVD)E. & M. Niedermair / W. Kassenbrock: Abiturwissen Superbuch -- Mathe & Physik. Der komplette Abiturstoff leicht verständlich. 576 Seiten. Franzis-Verlag (ISBN 978-3-7723-9265-8) 2009 mit DVD. UVP 29,95 €; im Oktober 2018 für 8,08 € plus 3 € Versand im Amazon-Marketplace (inzwischen dort wieder teurer).

In diesem dicken Buch werden Aufgaben aus dem Oberstufenstoff der Mathematik (Seiten 29 bis 296) und der Physik (Seiten 297 bis 567) vorgerechnet und gestellt -- aber nicht wirklich erklärt. Hinweise zum richtigen Lernen und der Bekämpfung von Prüfungsangst finden sich im ersten, einführenden Kapitel. Dem Buch von 2008 ist in dieser Sonderausgabe von 2009 noch eine DVD mit 4 Softwareprodukten beigegeben: dem lohnenswerten Programm WinMathematik XXL (einer Lizenzausgabe vom einzeln 30 € teuren MathProf 4.0 -- vgl. meine Besprechung von Mathematik-Software, Seiten a) und e)) und einer umfangreichen, aber wenig ansprechenden Mathematik-Aufgabensammlung (belegt 235 MB auf der Festplatte) sowie zwei schlecht-gemachten Mathematik- und Physik-Formelsammlungen. Allein WinMathematik XXL lohnt aber den Preis des Buchs, die (übrigen) Softwareprodukte kann man zum Glück nach kurzer Prüfung leicht einzeln deinstallieren.

Beispielseite aus Abiturwissen Superbuch Mathe & Physik (hier S. 117)Aber zum Mathematikteil des gedruckten Buches selbst: Er richtet sich wohl vor allem an Schülerinnen und Schüler, die vor Klassenarbeiten und/oder den Abiturklausuren typische Aufgaben üben wollen. Zu den drei Bereichen Analysis (wobei Exponential- und Logarithmusfunktion sowie die Integralrechnung eigene Kapitel bekommen haben), zur Linearen Algebra mit analytischer Geometrie sowie zur Stochastik werden schulbuch-übliche Aufgaben vorgerechnet, in nachfolgenden Übungskapiteln findet man weitere kleinere und größere Aufgabenstellungen zum Selberrechnen mit anschließender Lösung (z.T. an alte bayrische Zentralabitur-Aufgaben angelehnt bzw. daher entnommen). Beeindruckend ist die Breite des abgedeckten Stoffs, gerade auch in der andernorts oft immer noch stiefmütterlich behandelten Stochastik. Störend ist hingegen, dass wirklich nur gerechnet wird und Erklärungen weitestgehend fehlen: so steht z.B. nirgends, warum man etwa bei der Kurvendiskussion f ' (x)=0 setzt, um Kandidaten für Extrem- oder Sattelstellen zu finden. Auch weitere Kriterien werden zwar gelegentlich benutzt, aber nie erläutert (der Abschnitt 2.5 'Grundlagen zur Kurvendiskussion' hat daher den Namen nicht verdient, auch wenn es dort einige Definitionsmengen-, Symmetrie-, Tangenten- und Nullstellenbestimmungen sowie Beispiel-Diskussionen für je eine ganzrationale, gebrochenrationale und trigonometrische Funktion gibt -- aber eben keine Grundlagen). Ähnliches gilt auch für alle anderen Kapitel und Themen. Insofern eignet sich das Buch wirklich nur für Schülerinnen und Schüler, die für Erklärungen und zum Verständnis auf andere Quellen zugreifen können und hier nur das rezepthafte Durchrechnen sehen und üben wollen (auch die Aufgabensammlung auf DVD liefert als Kontroll-Lösungen immer nur eine Folge unkommentierter Rechenschritte) -- oder für Lehrerinnen und Lehrer als Materialvorrat für weitere (Haus-)Aufgaben zusätzlich zum Schulbuch. Zur Vorbereitung auf mündliche Prüfungen oder um den Sinn der Verfahren einzusehen, eignet sich dieses Buch nicht! Der Untertitel des Buchs "Der komplette Abiturstoff leicht verständlich" ist insofern irreführend.
(Im Vorwort zum Physikteil steht übrigens viel deutlicher: "Es ist kein Physikbuch im herkömmlichen Sinn. Es werden nur sehr bedingt .. Zusammenhänge hergeleitet oder bewiesen... Die Stärke dieses Buches liegt vielmehr in der sehr komprimierten Darstellung .. und in den Übungsaufgaben einschließlich der zugehörigen Musterlösungen" (S. 299))

Außerdem orientiert sich das Buch am traditionellen bayrischen und baden-württembergischen Abitur. Für Nordrhein-Westfalen fehlen anwendungsorientierte(re) Mathematik-Aufgaben. An Themen fehlen in der Linearen Algebra z.B. Übergangsmatrizen und in der Stochastik ist das Kapitel Unabhängigkeit mit weniger als einer Dreiviertelseite und ohne Satz von Bayes viel zu dürftig behandelt. Und das Stichwortverzeichnis enthält zu wenige Einträge, um bei vielen Suchen wirklich zu helfen.

Noch ein Wort zu Fehlern: Grundsätzlich waren die Autoren nicht nur fleißig, sondern scheinen sich auch Mühe gegeben zu haben. Natürlich gibt es trotzdem Fehler. Wenn im Wahrscheinlichkeits-Baum (auf S. 160) bei einem Ast der Strich und die Angabe der Wahrscheinlichkeit fehlt, so ist das (wie bei einigen offensichtlichen Tippfehlern) sicher leichter zu verschmerzen, als wenn an vielen Stellen die benötigten Klammern weggelassen werden (z.B. auch S. 109) und gar in allen Beispielen zur Polynomdivision immer z.B. - x2+3x falsch an Stelle des richtigen Terms -(x2+3x) = -x2-3x steht (Seiten 53 bis 55). Allerdings sind Fehler zum Glück seltener als etwa in "Physik espresso!" aus dem gleichen Verlag (siehe Besprechung auf meiner Physik-Webseite) und seltener als in den Lösungsbüchern für die Lehrerhand der meisten Schulbuchverlage -- auch wenn Thomas Beneken als "ein besorgter Vater" durchaus nachvollziehbar wegen der von ihm schon auf den ersten Seiten gefundenen Unzulänglichkeiten in seiner kritischen Rezension bei amazon.de vom Buch gänzlich abrät

Bei einem Preis von unter 10 € und wegen der empfehlenswerten Software WinMathematik XXL halte ich -- unter den dargestellten Einschränkungen bzw. für den genannten Zweck -- den Kauf der Ausgabe mit DVD trotzdem für berechtigt. Über den Physikteil und die Formelsammlungen berichte ich zusätzlich auf meine "Physik"-Seite.




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...und noch ein Buchtipp

Titelbild - Glaeser: Mathem. WerkzeugkastenGeorg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten - Anwendungen in Natur und Technik. Jokers edition 2007 (378 Seiten) für 12,95 €. [Die hier besprochenen Ausgabe, basierend auf der Auflage von 2004, gibt's allenfalls noch gebraucht. Seit September 2021 ist die wesentlich erweiterte, jetzt 583 Seiten umfassende 5. Auflage zum Preis von 34,99€ aktuell]

Dieses Buch sei jeder Mathematik-Lehrerin und jedem Mathematik-Lehrer, aber auch allen interessierten Oberstufenschülerinnen und -schülern an Herz gelegt. Einer groben mathematischen Fachsystematik folgend, bietet das Buch in 7 Kapiteln (von einfachen Gleichungen aus der Mittelstufe über einfache Geometrie und Trigonometrie bis zur Analysis und Vektorrechnung der Oberstufe) und zwei Anhängen (zu Zahlen und Musik) und in insgesamt über 50 Abschnitten eine Fülle von Anwendungen: Nach einer sehr kurzen mathematischen Einleitung werden prägnante Beispiele aufgeführt und mit den gerade vorgestellten mathematischen Mitteln behandelt.

Das Gelungene ist die Auswahl der Beispiele: Sei es die durchschnittliche Erosion des Tafelbergs pro Jahr, der Durchmesser eines Moleküls, die Schärfentiefe bei Digitalaufnahmen, die Verzögerung beim Bungy-Jumping, der Grund für dünne Spinnenbeine und dicke Säulenbeine beim Elefanten, die Ausrichtung von Sonnenspiegeln, das Maximalgewicht eines flugfähigen Vogels (oder auch Flugsauriers), die Planetenbewegung oder das Aufwickeln eines Taus: Mehrere Hundert Anwendungen werden erfrischend knapp aber klar vorgestellt und kurz durchgerechnet. Die willkürlich herausgegriffene abgebildete Doppelseite zeigt den typischen Aufbau des Buchs, das (bei mathematischer Vorbildung) durchaus auch als nicht zu schwierige Urlaubslektüre geeignet ist. Der Lehrer erhält eine Menge an Anregungen; allerdings bleibt es ihm überlassen, die hier jeweils nur kurz umrissenen Beispiele so aufzubereiten, dass sie auch zum Einsteig oder zur Motivation der benötigten Rechenwege und -verfahren im Schulunterricht dienen. Insofern unterschiedet sich der Ansatz hier von dem der Blikk-Webseiten oder dem der MUED (siehe weiter unten auf dieser Seite). Trotzdem und besonders für den günstigen Preis kann ich das Buch nur empfehlen: ich habe es gern und mit Gewinn gelesen!


Allerdings geht der Verlag wohl zu weit, wenn er das Buch auch als Einstieg in die Mathematik empfiehlt. Obwohl durch die mathematische Einleitung am Anfang jeden Abschnitts das Handwerkszeug für die folgenden Beispiele kurz vorgestellt wird, dürfte ein völliger Laie mit der formalen Lösung anschließend doch überfordert sein. Etwas mathematische Vorbildung sollte wohl besser mitgebracht werden.


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3. Buchbesprechung: Stochastik-Fehler

Alex Reinhart: Statistics done wrong - Deutsche Ausgabe: Statistik richtig anwenden und Fehler vermeiden. 208 Seiten. mitp-Verlag 2016. ISBN 978-3-95845-252-7. Originalpreis 24,99 € inzwischen aufgehoben; bei mitp im Februar 2024 schon für knapp 4 €.

Zunächst hatte ich mich bei diesem aus dem Amerikanischen übersetzten Buch gewundert, warum immer nur vom p-Wert statt von der Irrtumswahrscheinlichkeit oder dem Signifikanzniveau von Hypothesentests geredet wurde. Kannte der Übersetzer nicht die bei uns üblichen Begriffe? Schnell wurde aber klar, dass dahinter Absicht steckt. Der Autor will grundlegende Irrtümer im Umgang mit der Stochastik aufdecken. Dazu gehört der Kampf gegen den verbreiteten Glauben, eine auf Grund eines Hypothesentests mit einem p-Wert von 5 % getroffene Aussage sei mit 95-%-iger Wahrscheinlichkeit richtig. 5 % ist aber nur die Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese. Wie sicher dann - wenn z.B. die Nullhypothese H0: „kein Brustkrebs" mit höchstens 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art abgelehnt werden kann - das Gegenteil, nämlich die Diagnose Brustkrebs, zutrifft, hängt aber von weiteren Bedingungen ab: u.a. davon, wie groß der Fehler 2. Art des Tests ist, und wie verbreitet Brustkrebs überhaupt ist (Prävalenz). Das führt dazu, dass auch viele Frauen ohne Brustkrebs eine falsche positive Diagnose kriegen. Auch wenn fast alle Erkrankten tatsächlich erkannt werden, haben dadurch im Buchbeispiel (S. 73) tatsächlich nur 9 % der Frauen mit (angeblich fast sicherer) Brustkrebsdiagnose tatsächlich einen Tumor - also nur 9 % statt vermeintlich 95 % Sicherheit! Entsprechend verzichtet Reinhart auf irreführenden Sprachgebrauch.

Obwohl es für Brustkrebs inzwischen bei den Mammografie-Instituten Aufklärungsblätter gibt, die anschaulich und korrekt die (begrenzte) Aussagekraft der Untersuchung erklären, interpretiert die Mehrzahl der Ärzte solche Ergebnisse falsch. Allgemein sind die meisten Fachleute kaum in der Lage, die Ergebnisse von Untersuchungen in ihrem Fach richtig zu deuten.

Darüber hinaus sind schon viele veröffentlichte Daten falsch oder zumindest fragwürdig, weil die Autoren die statistischen Werkzeuge nicht richtig oder sinnvoll anzuwenden wussten. An diese Gruppe - Studenten und Forscher im medizinischen, biomedizinischen und psychologischen Bereich - wendet sich der Autor hauptsächlich. Im Buch werden viele mögliche Fehler -- nichtsignifikante Unterschiede der Signifikanz, zirkuläre Analysen, falscher Umgang mit Testabbrechern, Regression zur Mitte, überflüssige Zweiteilung, Simpson-Paradoxon, voreingenommene Berichterstattung, Nichtveröffentlichung klinischer Studien ohne signifikantes Ergebnis, usw. -- oft mit Beispielen angesprochen. Allerdings werden die Beispiele nicht von Grund auf durchgerechnet. Der Autor (selbst Statistiker an einer Uni) wendet sich an eine Leserschaft, die schon z.B. durch ein oder zwei Semester Statistikkurse Vorkenntnisse hat und die Verfahren und den Umgang mit Statistik-Programmpaketen wie z.B. SPSS im Prinzip kennt. Allerdings hält er die übliche Statistikausbildung z.B. der Mediziner an den Universitäten für unzureichend, da sie nicht geeignet sei, persönliche Fehlvorstellungen abzubauen. Offenbar sind seit rund 50 Jahren immer noch die gleichen Fehler weit verbreitet (vgl. auch meinen vorigen Abschnitt "Wissenschaftskrise u.a. wegen falsch verstandener Hypothesentests")!

Reinharts Tipps für bessere Kurse bzw. besseren Unterricht, der Lernende zwingt, ihre Ansichten zunächst klar zu äußern und sich (erst) danach mit dem richtigen Weg soweit auseinander zu setzen, sodass Diskrepanzen erkannt und falsche Auffassungen dauerhaft korrigiert werden, sind für Dozenten und auch Lehrer durchaus interessant. Seinem Appell, wichtige Untersuchungen immer von einem ausgebildeten Statistiker begleiten zu lassen, kann man nur zustimmen - ebenso dem Wunsch, statt Testergebnisse der Art „mit p-Wert 5% besser als das Placebo (bzw. die Standardarznei)" lieber Konfidenzintervalle für die neue Wirksamkeit in der Form „lässt 19 % bis 48 % der Erkrankten innerhalb 1 Woche genesen" anzugeben. Die Breite des Intervalls macht auch die (Un-)Sicherheit der Aussage deutlich. Außerdem plädiert er für die Vorab-Berechnung und Angabe der Teststärke sowie für die Veröffentlichung aller (Roh-)Daten z.B. auf geeigneten Internet-Servern, um Studien überprüf- bzw. nachvollziehbar zu machen.

Auch wenn man Einiges über Medikamententests erfährt und gute Tipps erhält: Wegen der abweichenden Zielgruppe und des vorausgesetzten Wissens ist das Buch für die Schule nur bedingt geeignet; beim reduzierten Preis für Studium und Praxis aber dringend zu empfehlen.



Hinweis: Die oft problematische, ja unverständige Verwendung stochastischer Methoden habe ich weiter oben auf dieser Seite im "Stochastik"-Kapitel bereits erwähnt, z.B. im Abschnitt "Wissenschaftskrise u.a. wegen falschverstandener Hypothesentests".
Eine Anleitung zum richtigen Testen findet sich zuvor als kurzes Übersichtsblatt 'Richtiges_Hypothesentesten.pdf' oder ausführlicher im längeren Referat 'stoch-s2.pdf' im Abschnitt "Stochastik in der SII".



 


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Eine neue, offene, staatlich geförderte Bildungsmediathek der Länder mit anschaulichen Materialien zu mehreren Fächern, u.a, Physik (1171), Mathematik (1042) oder Informatik (82 - jeweils Stand Okt. 2020)
Mathe-Werkstatt Herr Elschenbroich bietet auf seiner Homepage viel Interessantes zur und rund um die Mathematik (seit 2012 nicht mehr aktualisiert).
MUED e.V. Anwendungs- und handlungsorientierte Mathematik. Mehr über diesen Verein weiter oben auf dieser Seite.
Reale Probleme modellieren mit Mathe Die Links führen zum SII- bzw. SI-Mathematik-Bereich von blikk, einem umfangreichen und lohnenswerten Webangebot mit vielfältigen Anregungen, Mathematik aus realen Beispielen zu extrahieren.
MatheÜberall
Wisweb Interessant ist auf jeden Fall auch der niederländische Ansatz kontextbezogener Mathematik. Kern der Wisweb-Seite waren zahlreichen Applets, die - nach Anmeldung - zum interaktiven Entdecken der Mathematik anleiten sollten. Inzwischen wurde die Seite umgestaltet, und ist nicht mehr in deutsch, sondern nur noch in niederländisch und englisch verfügbar.
MatheOnline Hintergründe Umfangreiche Materialien der Uni Wien, nach Themengebieten und Unterrichtsgegenständen geordnet. Zusätzliche Verzweigungen zu einem mathem. Lexikon, zu Online-Werkzeugen (siehe auch unten: Online-Berechnungen und Mathepower), zur Galerie von Java-Applets,...
emath.de Rainer Müller stellt - inzwischen oft kostenpflichtig - Zentral-Abi-Aufgaben mit Lösungen vor, erlaubt das Herunterladen eines Abi-Vorbereitungskurses ("Know-How"), bietet online-Berechnungen bzw. Freeware-Tools (unter 'Lernsoftware Mathematik', schön: "Geo" für die Analytische Geometrie) und moderiert ein Forum ("Mathe-Board") für mathematische Fragen
Arne Madincea Internetseiten eines Berliner Mathelehrers, der Unterrichtsmaterial und Abiturvorschläge zum Download bereit stellt (seit 2012 offenbar nicht mehr aktualisiert)
Tino Hempel Viele Tipps zur Mathematik, aber auch zu Informatik und Physik finden sich auf dieser Seite eines Lehrers
Werner Pieper Nach dem Versiegen der "Mathe-Quelle" hat einer der Autoren hier seine Seiten für Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer untergebracht. Hier gibt es auch sein (Shareware-)Programm 'AG' [Analytische Geometrie], das auf meiner Rezensionsseite e) besprochen ist.
MathePrisma Zu vielen mathematischen Themen und einigen Informatikbereichen hält die Uni Wuppertal schöne mehrseitige interaktive Module zum Online-Lernen oder auch zum Download bereit
formelsammlung-mathe.de
Herr Schmidt-Voigt präsentiert knapp, aber übersichtlich einige wichtige Formeln. Abgerundet wird das Angebot durch einen schwachen Online-Taschenrechner und einen schöneren Online-Prozentrechner. Werbung über einen verprovisionierten Partner-Link zu Amazon für den Kauf der "Formelsammlungen für Schule und Studium" in Buchform
Mathebibel.de
Hier erklärt Andreas Schneider viele Begriffe und Verfahren aus allen Bereichen der Mathematik. Seine Erläuterungen sollten den meisten Schülerinnen und Schülern wirklich weiter helfen können, sodass Mathematik auch online gelernt werden kann! Werbung für Easy-Tutor.
bruchrechnen-kapiert Auf dieser Seite findet man Regeln, Beispiele, einen Online-Bruchrechner und interaktive Aufgaben zum Thema Bruchrechnen -- und leider auch viel Werbung für fremde Seiten, womit das sonst gelungene und ambitionierte Angebot offenbar finanziert wird.
SMART Eine Datenbank (bis 2015 gepflegt von der Uni Bayreuth, aber noch verfügbar) mit über 5500 Mathe- und Physik-Aufgaben bietet Beispiele zu fast jedem Schulthema (Gymnasium und Realschule)
DWU-Unterrichtsmaterialien Unterrichtsmaterialien für Mathematik (über 430 Seiten) und Physik (mehr als 300 Seiten) von Dieter Welz, inzwischen wieder auf seiner privaten Webseite
ZUM-Mathematik Fachportal Mathematik der Zentrale für Unterrichtsmaterialen. Außerdem dort erreichbar: Wiki über digitale Mathematik
GeoGebra Unter 'Materialien' sind angeblich über 1 Million GeoGebra-Konstruktionen, Simulationen und GeoGebra-bezogenene Unterrichtsmaterialien zu finden, die zum Glück gut katalogisiert sind, sodass sich wahre Schätze finden lassen. (Die GeoGebra-Version 2.5 habe ich übrigens oben auf meinen Software-Rezensions-Seiten c) und d) vorgestellt -- inzwischen [d.h. im März 2020] gibt's neben vielen neueren Apps unter 'Offline Apps'/'Apps herunterladen' mit Geogebra Classic 6 das neueste Gesamtpaket.
Z.u.L.-Beispiele u. -Anwendungen Hier finden sich einige schöne Anwendungen zum Geometrie-Programm Zirkel und Lineal (Z.u.L.) -- mit Verweisen auf weitere Material-Seiten. (Auch Z.u.L. habe ich in einer älteren Version oben auf meiner Software-Rezensions-Seite d) vorgestellt).
witze1, witze2, .. Hier wird gezeigt, dass Mathe keineswegs humorlos ist!
arndt-bruenner Die hervorragend gemachten Mathe-Seiten von Arndt Brünner kombinieren meist interaktive Berechnungen oder Grafikdarstellungen für unzählige Aufgaben und Fragestellungen mit Theorie bzw. mit Erklärungen zu den eingesetzten Verfahren. Manchmal sind auch umfangreiche Lehrtexte mit vorgerechneten Beispielen mit Übungsaufgaben kombiniert, wo eingetippte Lösungen geprüft werden können. Neben dem meist verwendeten Javascript kommen auch einige Java-Applets zum Einsatz.
Online-Berechnungen Übersicht über Seiten, wo online eingetippte Funktionsterme algebraisch differenziert, integriert oder gezeichnet werden können; Verweise auf Gleichungslöser und anspruchsvolle numerische oder algebraische Bestimmungen; dynamische Geometrie (siehe auch oben: MatheOnline Hintergründe und emath, sowie den folgenden Link: Mathepower) -- gut gepflegt von Bildungseinrichtungen in Österreich
Mathepower Kostenlose Online-Berechnungen für die typischen Mathe-Aufgaben der 1. bis 10. Klasse - vielfach, z.B. beim Lösen quadrat. Gleichungen, werden außer dem Ergebnis auch die algebraischen Umformungsschritte angezeigt. Gelungen!
Mathematik Online Früher mal eine Art FAQ zur Mathematik -- Antworten zu einigen (recht willkürlich) ausgewählten Fragen zur und über die Mathematik -- ist die Seite inzwischen offenbar nur noch eine Linkliste zu weiteren Mathe-Seiten
matheboard.de An diesem "Schwarzen Brett" kann jeder Fragen zur Mathematik 'posten' (aufschreiben und aushängen), die dann von anderen Besucherinnen und Besuchern der Seite beantwortet werden - mal gut, mal weniger gut. Meist erhält man mehrere Antworten. Natürlich kann man auch selbst auf andere Fragen antworten. Ebenfalls vorhanden: Boards zu Physik und Latein!
Mathe-CD In diesem ehrgeizigen Projekt werden Tausende schultypischer Mathe-Aufgaben zusammen getragen. Auch wenn nur ein kleiner Teil kostenlos sichtbar ist (für den Rest soll die CD gekauft werden), reicht auch das schon für viele Übungen!
Känguru Der Mathe-Wettbewerb mit den meisten Teilnehmern (ab der Unterstufe!)
math4u Mehr als 470 Aufgaben (gesammelt bis 2001), um auf Mathe-Wettbewerbe und -Olympiaden vorzubereiten
Zahlenjagd Eine österreichische Seite mit einem Sammelsurium zur Mathematik, u.a. Facharbeiten und Rätseln
Wurzel Auch der Verein Wurzel e.V. aus Jena, der die gleichnamige monatliche Zeitschrift für mathematisch interessierte Schüler heraus gibt, hält auf der Webseite u.a. einige Knobeleien bereit
Mathe-Rätsel Ingmar Rubin bietet einige ziemlich anspruchsvolle Mathe-Aufgaben; die Sammlung wurde schon länger nicht mehr aktualisiert
Mathworld Eric Weissteins anspruchsvolle mathematische Schatzkiste (engl.)
claymath.org Großes Geld verdienen mit Mathe? Für die Lösung von sieben so genannter Millenium-Probleme sind Preisgelder von je 1.000.000 $ ausgesetzt! (engl.)
Peanut-Software

Version 1996 auf australischer Seite
Version 2000 auf italienischer Seite
Version 2012 im Webarchiv

Einige sehr schöne kostenlose Mathe-Programme (u.a. für Funktionsgraphen, Matrizenrechnung, Stochastik, Fraktale, Berechnung aller Stellen von beliebig großen Zahlen,..) stammen vom 2012 verstorbenen Rick Parris und waren auf der Webseite math.exeter.edu/rparris seiner Wirkungsstätte in den USA verfügbar. Die Seite wurde inzwischen gelöscht. Zwar finden sich ältere Versionen seiner Übersichtsseite auch auf den nebenstehend genannten Servern, allerdings sind die Programme dort nicht hinterlegt, d.h. die Download-Links führen meist ins Leere. Allerdings kann nach den Programmnamen gesucht werden; so fand ich im Februar 2024 noch z.B.wp32z.exe (Winplot) auf Softfamous oder auch auf softpedia. Eine Oberfläche zu allen Programmen gibts noch auf howe-two.com. Zu Winplot findet sich auch 2024 eine ausführliche engl. Anleitung auf einer hawaiianischen Webseite.
Software-Download bzw.Download-Übersicht Meine Programme zum Herunterladen, u.a. WktBaum (Stochastik), LGS_2 (Gleichungssysteme und Umgekehrte Kurvendiskussion), Sin&Cos (Trigonometrie) sowie Informatik-Programme. (Mehr Mathematik-Unterrichtsmaterial gibt's weiter oben auf dieser Seite, ansonsten auch auf meiner Informatikseite )

Weitere Verknüpfungen (z.B. mit Bildungsservern, Schulbuchverlagen, Hausarbeiten, Referaten usw.) bei den Verweisen auf meiner Seite  & mehr


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